第10讲二次函数与一元二次方程-【暑假预习】2023年新九年级数学核心知识点与常见题型通关讲解练（人教版）

第10讲二次函数与一元二次方程 【知识梳理】 一．抛物线与x轴的交点 求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标，令y＝0，即ax2+bx+c＝0，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标． （1）二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的交点与一元二次方程ax2+bx+c＝0根之间的关系． △＝b2﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数． △＝b2﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点； △＝b2﹣4ac＝0时，抛物线与x轴有1个交点； △＝b2﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点． （2）二次函数的交点式：y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）（a，b，c是常数，a≠0），可直接得到抛物线与x轴的交点坐标（x1，0），（x2，0）． 二．图象法求一元二次方程的近似根 利用二次函数图象求一元二次方程的近似根的步骤是： （1）作出函数的图象，并由图象确定方程的解的个数； （2）由图象与y＝h的交点位置确定交点横坐标的范围； （3）观察图象求得方程的根（由于作图或观察存在误差，由图象求得的根一般是近似的）． 三．二次函数与不等式（组） 二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）与不等式的关系 ①函数值y与某个数值m之间的不等关系，一般要转化成关于x的不等式，解不等式求得自变量x的取值范围． ②利用两个函数图象在直角坐标系中的上下位置关系求自变量的取值范围，可作图利用交点直观求解，也可把两个函数解析式列成不等式求解． 【考点剖析】 一．抛物线与x轴的交点（共9小题） 1．（2023春•江都区月考）已知二次函数y＝﹣x2+x+6及一次函数y＝﹣2x+m，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数（如图所示），当直线y＝﹣2x+m与新图象有4个交点时，m的取值范围是 　 　． 2．（2023•余杭区校级模拟）已知，二次函数y＝x2+2x+c的图象与x轴交于点A（x1，0），B（x2，0）（x1＜x2）．若图象上另有一点P（m，n），则（　　） A．当n＞0时，m＜x1 B．当n＞0时，m＞x2 C．当n＜0时，m＜0 D．当n＜0时，x1＜m＜x2 3．（2023•碑林区校级模拟）已知y＝ax2+6ax+4（a≠0）是关于x的二次函数，当自变量x的取值范围为﹣4≤x≤1时，函数y有最大值，最大值为13，则下列结论不正确的是（　　） A．抛物线与x轴有两个交点 B．当抛物线开口向下时，a＝﹣1 C．对称轴在y轴的左侧 D．当抛物线开口向上时， 4．（2023•雨山区校级二模）抛物线y＝ax2﹣4x+2的顶点坐标为（2，n）． （1）a＝　 　； （2）若抛物线y＝ax2﹣4x+2向下平移m（m＞0）个单位后，在﹣1＜x＜4范围内与x轴只有一个交点，则m的取值范围是 　 　． 5．（2023•郴州）已知抛物线y＝x2﹣6x+m与x轴有且只有一个交点，则m＝　 　． 6．（2023•城阳区校级一模）已知抛物线y＝（x﹣2）2﹣3的部分图象如图所示，若y≤0，则x的取值范围为 　 　． 7．（2023•陇南模拟）如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点． （1）求该抛物线的解析式； （2）观察函数图象，直接写出当y＞0时，x的取值范围； （3）设（1）题中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由． 8．（2023•无为市四模）已知二次函数y＝ax2+bx+2的图象经过点（2，2）． （1）用含a的代数式表示b； （2）若该函数的图象与x轴的一个交点为（3，0），求二次函数的解析式； （3）当a＜0时，该函数图象上的任意两点P（x1，y1），Q（x2，y2），若满足x1＝﹣2，y1＞y2，求x2的取值范围． 9．（2023•玄武区二模）已知函数y＝x2+mx+n（m，n为常数）． （1）若m＝4，n＝3，求该函数图象与x轴的两个交点之间的距离； （2）若函数y＝x2+mx+n的图象与x轴有两个交点，将该函数的图象向右平移k（k＞0）个单位长度得到新函数y′的图象，且这两个函数图象与x轴的四个交点中任意相邻两点之间的距离都相等． ①若函数y＝x2+mx+n的图象如图所示，直接写出新函数y′的表达式； ②若函数y＝x2+mx+n的图象经过点（1，3），当k＝1时，求m，n的值． 二．图象法求一元二次方程的近似根（共10小题） 10．（2023春•萧山区期中）已知二次函数y＝ax2+bx+c，y与x的部分对应值为： x … ﹣2 ﹣1 0 1 2