第22讲：基本不等式-【暑假辅导】2023年新高一年级数学暑假精品课程（人教A版2019）

第二十二讲：基本不等式 【教学目标】 1.了解基本不等式的证明过程. 2.能利用基本不等式证明简单的不等式及比较代数式的大小． 【基础知识】 基本不等式 （1）基本不等式：如果a>0，b>0，，当且仅当a＝b时，等号成立． 其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数． （2）变形：，a，b∈R，当且仅当a＝b时，等号成立． ，a，b都是正数，当且仅当a＝b时，等号成立． 【题型目录】 考点一：基本不等式的理解 考点二：基本不等式性质 考点三：基本不等式证明不等式（一） 考点四：基本不等式证明不等式（二） 【考点剖析】 考点一：基本不等式的理解 例1．设，则下列不等式成立的是（ ） A． B． C． D． 变式训练1．下列不等式恒成立的是（ ） A．； B．； C．； D．． 变式训练2．设，则下列不等式中成立的是（ ） A． B． C． D． 变式训练3．若且，则，，，中的最大值的是（ ） A． B． C． D． 考点二：基本不等式性质 例2．若且，则下列不等式中恒成立的是（ ）． A． B． C． D． 变式训练1．已知，且，则下列结论恒成立的是（ ）． A． B． C． D． 变式训练2．已知、，若，则下列不等式： ①； ②； ③； ④． 其中恒成立的不等式序号是（ ） A．①、③ B．①、② C．②、③ D．②、④ 变式训练3．已知，则下列不等式中不成立的是（ ）． A． B． C． D． 考点三：基本不等式证明不等式（一） 例3．《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，，则该图形可以完成的无字证明为（ ） A． B． C． D． 变式训练1．三国时期赵爽在《勾股方圆图注》中，对勾股定理的证明可用现代数学表述为如图所示，我们教材中利用该图作为几何解释的是（ ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．对任意实数a和b，有，当且仅当时，等号成立 变式训练2．数学命题的证明方式有很多种．利用图形证明就是一种方式．现有如图所示图形，在等腰直角三角形中，点O为斜边AB的中点，点D为斜边AB上异于顶点的一个动点，设，，用该图形能证明的不等式为（ ）． A． B． C． D． 变式训练3．《几何原本》卷Ⅱ的几何代数法成了后世西方数学家处理数学问题的重要依据.通过这一原理，很多代数的定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明现有如图所示图形，点F在半圆O上，点C在直径AB上，且OF⊥AB，设AC＝a，BC＝b，可以直接通过比较线段OF与线段CF的长度完成的无字证明为（ ） A．（a＞0，b＞0） B． C．（a＞0，b＞0） D．（a＞0，b＞0） 考点四：基本不等式证明不等式（二） 例4．已知，，，求证：. 变式训练1．已知实数均大于0，证明：. 变式训练2．（1）已知，，，求证：； （2）已知a，b，c为不全相等的正实数，求证：. 变式训练3．已知，，，且．求证：． 【课堂小结】 1．知识清单： (1)基本不等式． (2)利用基本不等式比较大小． (3)利用基本不等式证明不等式． 2．方法归纳：配凑法． 3．常见误区：一正、二定、三相等，常因缺少条件导致错误． 【课后作业】 1、．若，则下列不等式成立的是（ ） A． B． C． D． 2、如果0＜a＜b＜1，P＝，Q＝，M＝，那么P，Q，M的大小顺序是（ ） A．P＞Q＞M B．M＞P＞Q C．Q＞M＞P D．M＞Q＞P 3、小明骑自行车从甲地前往乙地，前一半路程以速度骑行，后一半路程以速度骑行，且，其全程的平均速度为，则下列关系中不正确的是（ ） A． B． C． D． 4、若，，且，则下列代数式中最大的是（ ） A． B． C． D． 5、若，则下列不等式①；②；③；④中，正确的不等式有（ ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 6、（多选）下列命题中正确的是（ ） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 7、．若a，，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8、若为非零实数，则以下不等式：①；②；③；④ .其中恒成立的个数是（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 9、已知a＞0，b＞0，给出下列三个不等式：①；②；.其中正确的个数是（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 10、三国时期的数