专题1.17 构造直角三角形解决问题（分层练习）-2023-2024学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（北师大版）

专题1.17 构造直角三角形解决问题（分层练习） 【方法】当题目中出现直角，而不具备直角三角形时，常常通过构造直角三角形，利用勾股定理解决问题；或当题目中没有直角时，也常常通过构造直角三角形，利用勾股定理解决问题。 特别说明：本专题涉及到二次根式的运算，建议学习第二章《实数》后讲行练习。 1．在中，，，．求的长．    2．如图，在等腰三角形中，，，点D是中点，点E是的中点，连接． (1) 求证：； (2) 求的面积． 3．在中，为边上的高，且，求的周长． 4．在中，，，边上的高，求另一边的长． 5．已知四边形中，，为中点，且，，． (1) 求的值； (2) 求直线与直线的距离． 6．在海洋上有一近似于四边形的岛屿，其平面如图甲，小明据此构造出该岛的一个数学模型（如图乙四边形），是四边形岛屿上的一条小溪流，其中千米，千米，千米，千米． (1)求小溪流的长． (2)求四边形的面积．（结果保留根号） 7．如图，在△ABC中，，，，点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线A-C-B-A运动，设点P的运动时间为t秒（）． (1) 斜边上的高是 ． (2) 若点P在的角平分线上，则t的值为 ． (3) 在整个运动过程中，直接写出是等腰三角形时t的值．（提示：三角形的两边中点的连线等于第三边的一半） 8．如图①正方形中，点E是对角线上任意一点，连接． (1) 求证：； (2) 当时，求的度数； (3) 如图②，过点E作交于点F，当时，若．求的长． 9．如果三角形有一边上的中线恰好等于这边的长，那么我们称这个三角形为“美丽三角形”． (1) 如图，在中，，，求证：是“美丽三角形”； (2) 在中，，，若是“美丽三角形”，求的长． 10．如图，在中，为边上的中线，，，，求证：． 11．已知某开发区有一块四边形的空地，如图所示，经测量，，， ， ，求这块空地的面积？    12．某学校内有一块如图所示的三角形空地，其中米，米，米，计划将这块空地建成一个花园，以美化校园环境，预计花园每平方米造价为元，则学校修建这个花园需要投资多少元？ 13．如图，和都是等腰直角三角形，，，的顶点在的斜边上． (1) 判断与间的数量关系，并说明理由； (2) 直接写出线段、、间满足的数量关系． 14．如图，在 中，，， 为 的中点， 交 于点 ， 交 于点 ，且 ，过点 A 作交 的延长线于点 ． (1) 求证：． (2) 若 ，，求线段 的长． 15．如图，在△ABC中，，以为一边作正方形，过点D作交延长线于点F，连接，求的长． 16．已知：如图，中，，，点D在边上，点A关于直线的对称点为E，射线交直线于点F，连接． (1) 设，用含的代数式表示的大小，并求的度数； (2) 用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 17．【问题提出】如图①，在中，若，，求边上的中线的取值范围． 【问题解决】解决此问题可以用如下方法：延长到点，使，再连接（或将绕着点逆时针旋转得到），把、、集中在中，利用三角形三边的关系即可判断．由此得出中线的取值范围是________． 【应用】如图②，在中，为边的中点，已知，，，求的长． 【拓展】如图③，在中，，点是边的中点，点在边上，过点作交边于点，连接．已知，，直接写出的长． 18．【问题情境】 课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图①，中，若，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点，使，连接． 请根据小明的方法思考： （1）由已知和作图能得到，依据是________． A．；B．；C．；D． 由“三角形的三边关系”可求得的取值范围是________． 【初步运用】 （2）如图②，是的中线，交于，交于，且．若，，求线段的长． 【灵活运用】 （3） 如图③，在中，，为中点，，交于点，交于点，连接．试猜想线段．．三者之间的数量关系，并证明你的结论． 参考答案 1． 【分析】过点作于点，根据含30度角的直角三角形的性质求得，进而根据勾股定理求得，根据已知得出是等腰直角三角形，进而即可求得，根据，即可求解． 解：如图所示，过点作于点，    ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． 【点拨】本题考查了根据勾股定理解直角三角形，等腰直角三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 2．(1)见分析；(2)48 【分析】（1）连接，证明是直角三角形，即可求出答案； （2）用勾股定理求出的长，即可求解． 解：（1）证明：连接，如图所示，    ∵在中，，E是的中点， ∴， ∴是直角三角形， 又∵D是的中点 ∴； （2）解：∵E是的中点，， ∴， 在中，，， ∴， ∴； 【点拨】本题考