2.3.3 点到直线的距离公式 课件-2022-2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

第二章直线和圆的方程 2.3.3直线的交点与距离公式（3) 一点到直线的距离公式 复习引入： 1.两点P(xy人P(x2y2)的距离公式： PDl=Vx2x)2+0y2-y)月 特别地，原点O(0,0)与任意一点P(x,y)的距离为： OP=x2+y2 2思考：如图，已知点P(xoyo),直线1：Ax+By+C=0, 如何求点P到直线的距离？ 由点到直线的距离定义 如图，PQ的长度就是点P到直线的距离. 学习新课： 1如图，己知点(x,y),直线1：Ax+By+C=0(A、B不同时为0)， 如何求点P,到直线的距离？ PQ的长度就是点P到直线I的距离 :直线1：Ax+By+C=0, A 斜率为- B ☐直线P,0的斜率为B由点斜式， A B 直线B2的方程为：y-八=x-x) 由 %- 得到Q点坐标， Ax+By+C=0 再根据两点距离公式， 可求出Pg B B 尤-X0+yo ① Ax+By+C=0 Ax+By+C=0 ② 把①代入②，解得 x= B2xo-AByo-AC 3 A2+B2 把③代入①，解得 y= A2yo-ABxo-BC A2+B2 ∴.Q点坐标为 B2xo-AByo-AC A'xo-ABxo-BC A2+B2 A2+B2 B2xo-AByo-AC 0- A2+B2 (Axo+Byo+C)2Axo+Byo+C A2+B2 A2+B2 因此，点P(x,y)到直线l:Ax+By+C=O的距离 d= Axo Byo+C V42+B2 可以验证，当A=0或B=0时，上述公式仍然成立. 此公式还有其他推导方法吗？ 想一想，试一试. 设A≠0，B≠0， 过点P分别作x轴和y轴的平行线， 交I于点R,S,如图.则 R Bya+C)SC) R(-- A B A -。e9 Axo+Byo+C B B IRs-F +ls= (Axo +Byo+C)2 (Axo+Byo+C)2 A2 B2 to+Ca+日，++0 A2B2 设P,Q=d,由三角形的面积得)Rs-PQ=P,-lP,S 即d=1pg= PR·rS RS Ax+By+CAo+w土C R 4 o+B,+C Axo+Byo+C V42+B2 点(xo,yo)到直线1：Ax+By+C=0的距离 此公式还用向量推导可以吗？ d= Axo+Byo+C VA2+B2 想一想，试一试. 点P(xo,y)到直线1：Ax+By+C=O的距离 就是Q的模， M(x,y) 设M(x,y)是直线I:Ar+By+C=0上任意一点 P2(x2,y2) 是与直线的方向向量垂直的单位向量 则P8是在n上的投影向量， Ro PM 设P(x,y,P(x2,y2)是直线1上的任意两点， 则8=(x,-x,2-y)是直线止的方向向量 :(x,,P(x2y2)是直线1上两点， Ax+By+C=0 (1 Ax,+By2+C=0② ②-①得，Ax2-x+B(y2-)=0 由平面向量数量积运算可知， 向量(A,B与向量(x2-x,2-y垂直.i= 6 (A,B =小 容-u网 -g+8少 +gi+--】 :M(x,y)在直线I上， ∴.Ax+By+C=0∴.Ax+By=-C Ni-+后C-- 0-g=.79 方法小结： 比较上述方法：第一种、第二种都是从定义出发， 把问题转化为求两点间的距离，通过代数运算得到结果， 思路自然： 第三种方法利用向量投影，通过向量运算求出结果，简化 了运算.