第02讲 2.2基本不等式（17类热点题型精讲精练）-【帮课堂】2023-2024学年高一数学同步学与练（人教A版2019必修第一册）

第02讲 2.2基本不等式 课程标准 学习目标 ①掌握重要的不等式、基本不等式（均值不等式）的内容，成立条件及公式的证明。 ②利用基本不等式的性质及变形求相关函数的最值及证明。 通过本节课的学习，要求掌握基本不等式成立的条件，运用基本不等式这一重要的工具解决与最值有关的问题，会用基本不等式解决简单问题的证明. 知识点一：基本不等式（一正，二定，三相等，特别注意“一正”，“三相等”这两类陷阱） 基本不等式:,,（当且仅当时，取“”号）其中叫做正数，的几何平均数；叫做正数，的算数平均数． 如果，有（当且仅当时，取“”号） 特别的，如果,用分别代替,代入，可得：，当且仅当时，“”号成立. 知识点二：利用基本不等式求最值 ①已知，是正数，如果积等于定值，那么当且仅当时，和有最小值； ②已知，是正数，如果和等于定值，那么当且仅当时，积有最大值； 知识点三：基本不等式链 （其中，当且仅当时，取“”号） 知识点四：三个正数的基本不等式 如果，，，那么（当且仅当时，取“”号） 题型01对基本不等式的理解 【典例1】（2023·全国·高三专题练习）下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（多选）（2023秋·广东广州·高一广州四十七中校考期末）以下结论正确的是（    ） A．函数的最小值是4 B．若且，则 C．若，则的最小值为3 D．函数的最大值为0 【变式1】（2023·高一课时练习）下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 题型02由基本不等式比较大小 【典例1】（多选）（2022秋·江苏南京·高一南京师大附中校考期中）设为正实数，，则下列不等式中对一切满足条件的恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知且，下列各式中最大的是_____.(填序号) ①；②；③；④. 【变式1】（多选）（2022秋·广东汕头·高一汕头市聿怀中学校考期中）若．且，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 题型03由基本不等式证明不等关系 【典例1】（2023春·上海嘉定·高一统考阶段练习）已知是实数. (1)求证：，并指出等号成立的条件； (2)若，求的最小值. 【典例2】（2023秋·陕西榆林·高一统考期末）已知，. (1)若，求的最大值； (2)若，证明：. 【变式1】（2023·全国·高三专题练习）已知都是正数，且. 求证：（1）； （2）. 题型04利用基本不等式求积的最大值 【典例1】（2023·全国·高三专题练习）已知，则函数 的最大值是（　　） A． B． C． D． 【典例2】（2023·全国·高三专题练习），的最大值为_________. 【变式1】（2023·全国·高三专题练习）已知，则的最大值为________. 题型05利用基本不等式求和的最小值 【典例1】（2023春·北京·高二北京市陈经纶中学校考期中）设，则的最小值为（    ） A．5 B．3 C．4 D．9 【典例2】（2023·贵州贵阳·校联考模拟预测）若，则的最小值为__________． 【变式1】（2023·全国·高三专题练习）已知，若，则的最小值为______ 题型06利用基本不等式求二次与二次（一次）商式的最值 【典例1】（2022·高一课时练习）已知，则的最小值为___________. 【典例2】（2023·全国·高三专题练习）（1）求函数的最小值及此时的值； （2）已知函数，，求此函数的最小值及此时的值. 【变式1】（2023·全国·高三专题练习）函数的最小值为___________. 题型07利用基本不等式求条件等式求最值 【典例1】（2023春·河南·高一校联考期中）已知正实数，满足，则的最小值为（    ） A．3 B．1 C．9 D． 【典例2】（2023·全国·高一专题练习）已知，，若，则的最小值为______. 【变式1】（2023秋·广东·高三统考学业考试）若正数x，y满足，则的最小值是（    ） A．6 B． C． D． 题型08基本不等式中的恒成立问题 【典例1】（2023·全国·高三专题练习）已知，，且，若不等式恒成立，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C．或 D．或 【典例2】（2023·全国·高三专题练习）已知、，若恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【典例3】（2023·高三课时练习）若对任意，恒成立，则的取值范围是_____． 【变式1】（2023·全国·高三专题练习）已知x>0，y>0，且＋＝1，若恒成立，则实数m的取值范围是（    ） A．m≤－2或m≥2 B．m≤－4或m≥2 C．－2＜m＜4 D．－2＜m＜2 【变式2】（2023·全国·高三专题练习）