第01讲 2.1等式性质与不等式性质（6类热点题型精讲精练）-【帮课堂】2023-2024学年高一数学同步学与练（人教A版2019必修第一册）

第01讲 2.1等式性质与不等式性质 课程标准 学习目标 ①会用不等式表示不等关系；掌握等式性质和不等式性质。 ②会利用不等式性质比较大小。 ③会利用不等式的性质进行简易的求范围与证明。 1通过本节课的学习，能做到用不等式表示不等关系，能利用等式及不等式的相关性质进行大小的比较、不等关系的证明、求解相应代数式的取值范围. 知识点一：不等式的概念 在客观世界中，量与量之间的不等关系是普遍存在的，我们用数学符号“”“”“”“”“”连接两个数或代数式，以表示它们之间的不等关系.含有这些不等号的式子，叫做不等式. 自然语言 大于 小于 大于或等于 小于或等于 至多 至少 不少于 不多于 符号语言 知识点二：实数大小的比较 1、如果是正数，那么；如果等于，那么；如果是负数，那么，反过来也对. 2、作差法比大小：①；②；③ 3、不等式性质 性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变 性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变 性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变 知识点三：不等式的探究 一般地，，有，当且仅当时，等号成立. 知识点四：不等式的性质 性质 性质内容 特别提醒 对称性 （等价于） 传递性 （推出） 可加性 （等价于 可乘性 注意的符号（涉及分类讨论的思想） 同向可加性 同向同正可乘性 可乘方性 ，同为正数 可开方性 题型01由已知条件判断所给不等式是否正确 【典例1】（2023春·北京·高二对外经济贸易大学附属中学（北京市第九十四中学）校考期中）若，，且，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（多选）（2023春·山东临沂·高二校考阶段练习）设为正实数，则下列命题正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，，则 【典例3】（多选）（2023·全国·高一专题练习）已知实数，，满足，，那么下列选项中错误的是（　　） A． B． C． D． 【变式1】（多选）（2023·全国·高三专题练习）若，，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式2】（多选）（2023春·黑龙江大庆·高二大庆实验中学校考期中）下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 题型02由不等式的性质比较数（式）大小 【典例1】（2023·全国·高三专题练习）若，，则一定有（    ） A． B． C． D． 【典例2】（2023·全国·高三专题练习）设，比较与的大小 【变式1】（多选）（2023·全国·模拟预测）若，，则（    ）． A． B． C． D． 【变式2】（多选）（2023秋·福建三明·高一统考期末）已知，，则下列四个不等式中，一定成立的是（    ） A． B． C． D． 题型03作差法比大小 【典例1】（2023·全国·高三专题练习）已知，，，，则与的大小关系为（　　） A． B． C． D．，大小关系不确定 【典例2】（2023·全国·高一专题练习）“”是“”的（    ） A．充分必要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1】（2023·全国·高一专题练习）已知，，设，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2023·上海·高三统考学业考试）设，，则s与t的大小关系是________. 题型04利用不等式求值或取值范围 【典例1】（2023·江苏南通·模拟预测）已知，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（多选）（2023秋·四川达州·高一校考阶段练习）已知，，下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式1】（2023·全国·高一专题练习）已知实数x，y满足，，则y的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2023·全国·高三专题练习）已知，，分别求，，，的取值范围． 题型05用不等式表示不等关系 【典例1】（2023秋·甘肃酒泉·高一统考期末）铁路总公司关于乘车行李规定如下：乘坐动车组列车携带品的外部尺寸长、宽、高之和不超过130cm，且体积不超过，设携带品外部尺寸长、宽、高分别记为，，（单位：cm），这个规定用数学关系式可表示为（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 【典例2】（2023·高一课时练习）用锤子以均匀的力敲击铁钉钉入木板，随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力会越来越大，使得每次钉入木板的钉子长度后一次为前一次的，已知一个铁钉受击3次后全部进入木板，且第一次受击后进入木板部分的铁钉