(教参)4.3.3 余角和补角-【提分教练】2022-2023学年七年级数学上册同步(人教版)

课时3　余角和补角 学习目标 1．在具体的现实情境中，认识一个角的余角与补角，掌握余角和补角的概念和性质． 2．运用余角、补角解决一些简单的实际问题． 素养目标 1．进一步提高学生的抽象概括能力，发展空间观念和知识运用能力．学会简单的逻辑推理能力并能对问题的结论进行合理的猜想． 2．体会观察、归纳推理对从数学知识中获取数学猜想和论证的重要作用． 一、余角和补角 名称 概念 图示 余角 一般地，如果两个角的和等于 90° (直角)，就说这两个角　互为余角　(简称互余)，即其中每一个角是另一个角的余角 补角 如果两个角的和等于 180° (平角)，就说这两个角互为补角(简称 互补 )，即其中一个角是另一个角的补角 1．若∠A＝40°，则∠A的补角为(　D　) A．40° B．50° C．60° D．140° 解析：因为∠A＝40°， 所以∠A的补角为180°－∠A＝140°． 2．如图，给出的各角中，哪些互为余角？哪些互为补角？ 解：互余：10°和80°；30°和60°．互补：100°和80°；120°和60°；150°和30°；170°和10°． 二、余角和补角的性质 内容 数学符号表示 余角的 性质 同角的余角 相等 因为∠A＋∠B＝90°，∠B＋∠C＝90°，所以∠A＝∠C 等角的余角相等 因为∠A＋∠B＝90°，∠D＋∠C＝90°，且∠B＝∠D，所以∠A＝∠C 补角的 性质 同角的补角 相等 因为∠A＋∠B＝180°，∠B＋∠C＝180°，所以∠A＝∠C 等角的补角相等 因为∠A＋∠B＝180°，∠D＋∠C＝180°，且∠B＝∠D，所以∠A＝∠C 1．如图，点O在直线AB上，∠COB＝∠EOD＝90°，那么下列说法错误的是(　D　) A．∠1与∠2相等 B．∠AOE与∠2互余 C．∠AOD与∠1互补 D．∠AOE与∠COD互余 2．如图，点A，O，B在同一直线上，∠AOC＝∠BOC，若∠1＝∠2，则图中互余的角共有(　B　) A．5对 B．4对 C．3对 D．2对 解析：因为∠AOC＝∠BOC， ∠AOC＋∠BOC＝180°， 所以∠AOC＝∠BOC＝90°， 所以∠1＋∠DOC＝90°， ∠2＋∠AOE＝90°． 因为∠1＝∠2，所以∠DOC＝∠AOE， 所以∠2＋∠COD＝90°， ∠1＋∠AOE＝90°， 即图中互余的角共有4对． 3．如图，已知∠COD＝∠BOA＝90°．试说明： (1)∠AOD＝∠BOC； (2)∠BOD＋∠AOC＝180°． 解：(1)因为∠COD＝∠BOA＝90°， 所以∠BOC＋∠BOD＝∠BOD＋∠AOD， 所以∠AOD＝∠BOC． (2)因为∠AOC＝∠COD＋∠AOD， 所以∠BOD＋∠AOC＝∠BOD＋∠COD＋∠AOD＝∠COD＋∠AOB． 又因为∠COD＝∠BOA＝90°， 所以∠BOD＋∠AOC＝180°． 三、方向角 方向角是以 正北 、 正南 方向为基准，描述物体运动方向的角．如图1，射线OA，OB的方向可分别表示为OA在北偏东30°的方向上，OB在南偏西45°的方向上，俗称西南方．同理，图2中北偏东45°为东北方向，西北和东南方向即为北偏西45°和南偏东45°． 1．如图，OA是北偏东30°方向的一条射线，若∠BOA＝90°，则OB的方向角是(　B　) A．北偏西30° B．北偏西60° C．北偏东30° D．北偏东60° 2．如图，A地和B地都是海上观测站，A地在灯塔O的北偏东30°方向，∠AOB＝100°，则射线OB的方向为(　C　) A．东偏南30° B．南偏东40° C．南偏东50° D．南偏西50° 　余角和补角的计算 如图，已知∠AOB＝∠COD＝90°． 　 图1 图2 探究1：如图1，若∠BOC＝2∠AOC，求∠BOC的大小． 解：因为∠AOB＝90°， 所以∠BOC＋∠AOC＝90°． 因为∠BOC＝2∠AOC， 所以∠BOC＝60°． 探究2：如图1，试探究∠BOC与∠AOD之间的数量关系． 解：因为∠COD＝90°， 所以∠AOD＝∠COD＋∠AOC＝90°＋∠AOC． 因为∠AOB＝90°， 所以∠BOC＋∠AOC＝90°， 所以∠BOC＋∠AOD＝∠BOC＋90°＋∠AOC＝90°＋90°＝180°， 即∠BOC与∠AOD互为补角． 探究3：若把图1中∠AOB绕点O旋转到图2的位置，试说明探究2中∠BOC与∠AOD之间的数量关系还成立吗？并说明理由． 解：成立．理由如下： 因为∠AOB＝∠COD＝90°， 所以∠AOB＋∠COD＝180°． 因为∠BOC＋∠AOD＋∠AOB＋∠COD＝360°， 所以∠BOC＋∠AOD＝1