3.2.1函数的单调性与最大（小）值（讲+练）-【巅峰课堂】2023年新高一数学暑假预习精讲精练(人教A版2019必修第一册)

3.2.1函数的单调性与最大（小）值 目录 学习内容与学习目标 1 知识梳理 1 学法指导 2 自学与预习基础检测 2 考点剖析 2 考点一：图象法判断单调性 2 考点二：单调性的判断与证明 3 考点三：单调性解不等式 4 考点四：单调性求参 4 考点五：简单复合函数的单调性 5 考点六：单调性求值域与最值 5 考点七：函数最值求参 6 考点八：恒成立 6 课堂练习 7 1.了解函数的单调区间、单调性等概念. 2.会划分函数的单调区间，判断单调性. 3.会用定义证明函数的单调性． 4.了解函数的最大(小)值的概念及其几何意义. 5会借助单调性求最值. 6.掌握求二次函数在闭区间上的最值的方法． 概念一、增函数与减函数的定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D⊆I： (1)如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递增，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们称它是增函数． (2)如果∀x1，x2∈D，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们称它是减函数． 概念二、函数的单调区间 如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间． 概念三、函数的最大(小)值及其几何意义 最值 条件 几何意义 最大值 ①对于∀x∈I，都有f(x)≤M，②∃x0∈I，使得f(x0)＝M 函数y＝f(x)图象上最高点的纵坐标 最小值 ①对于∀x∈I，都有f(x)≥M，②∃x0∈I，使得f(x0)＝M 函数y＝f(x)图象上最低点的纵坐标 概念四、求函数最值的常用方法 1．图象法：作出y＝f(x)的图象，观察最高点与最低点，最高(低)点的纵坐标即为函数的最大(小)值． 2．运用已学函数的值域． 3．运用函数的单调性： (1)若y＝f(x)在区间[a，b]上是增函数，则ymax＝f(b)，ymin＝f(a)． (2)若y＝f(x)在区间[a，b]上是减函数，则ymax＝f(a)，ymin＝f(b)． 4．分段函数的最大(小)值是指各段上的最大(小)值中最大(小)的那个． (1)函数单调性关注的是整个区间上的性质，单独一点不存在单调性问题，所以单调区间的端点若属于定义域，则该点处区间可开可闭，若区间端点不属于定义域则只能开． (2)单调区间D⊆定义域I. (3)遵循最简原则，单调区间应尽可能大． 1．如果f(x)在区间[a，b]和(b，c]上都是增函数，则f(x)在区间[a，c]上是增函数．(　 　) 2．函数f(x)为R上的减函数，则f(－3)>f(3)．(　 　) 3．若函数y＝f(x)在定义域上有f(1)<f(2)，则函数y＝f(x)是增函数．(　 　) 4．若函数y＝f(x)在区间D上是增函数，则函数y＝－f(x)在区间D上是减函数．(　 　) 方法与技巧 (1)函数单调区间的两种求法 ①图象法．即先画出图象，根据图象求单调区间． ②定义法．即先求出定义域，再利用定义法进行判断求解． (2)函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，单调区间是定义域的子集；当函数出现两个以上单调区间时，单调区间之间可用“，”分开，不能用“∪”，可以用“和”来表示；在单调区间D上函数要么是增函数，要么是减函数，不能二者兼有． 1．已知的图象如图所示，则该函数的单调增区间为（    ） A． B．和 C． D．和 2．函数的单调递减区间为（    ） A．（–∞，2] B．[2，+∞） C．[0，2] D．[0，+∞） 3．若函数的图象如图所示，则其单调递减区间是（    ） A．， B． C． D． 4．函数的增区间是（    ） A． B． C． D． 5．下列函数中，在上为增函数的是（    ） A． B． C． D． 方法与技巧 利用定义判断或证明函数单调性的步骤 1．已知函数. (1)判断函数在上的单调性，并证明； (2)求函数在上的最值. 2．已知定义域为的函数. (1)判断函数的单调性，并证明； (2)解不等式. 3．已知函数,且此函数的图象过点. (1)求实数的值； (2)证明函数在上是增函数. 1．函数是定义在上的增函数，则满足的的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2．函数在R上为减函数，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．若函数在上单调递增，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．定义在R上的函数，对任意的（），都有，且，则不等