课时梯级训练(65) 三角函数的应用（Word练习）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册（人教A版2019）

课时梯级训练(65)　三角函数的应用 1．如图所示为一简谐运动的图象，则下列判断正确的是(　　) A．该质点的振动周期为0.7 s B．该质点的振幅为－5 cm C．该质点在0.1 s和0.5 s时的振动速度最大 D．该质点在0.3 s和0.7 s时的加速度为零 D　解析：该质点的振动周期为T＝2(0.7－0.3)＝0.8(s)，故A是错误的；该质点的振幅为5 cm，故B是错误的；该质点在0.1 s和0.5 s时的振动速度是零，故C是错误的． 2．如图所示的是一个单摆，以平衡位置OA为始边、OB为终边的角θ(－π<θ<π)与时间t(s)满足函数关系式θ＝sin (2t＋)，则当t＝0时，角θ的大小及单摆的频率是(　　) A．， B．2，　 C．，π D．2，π A　解析：当t＝0时，θ＝sin ＝，函数解析式易知单摆的周期为＝π，故单摆的频率为. 3．(多选)如图，弹簧挂着的小球上下振动，时间t(单位：s)与小球对于平衡位置(即静止状态)的高度h(单位：cm)之间的关系式是h＝2sin (t＋)，t∈[0，＋∞)，下列说法正确的是(　　) A．小球开始振动时，在平衡位置上方 cm处 B．最高点、最低点与平衡位置的距离都是2 C．往复振动一次需2π s D．π s时小球达到最低点 ABC　解析：令t＝0，得h＝，即小球开始振动时，在平衡位置上方cm处，A正确；由h＝2sin (t＋)，知h的最大值为2，最小值为－2，则最高点、最低点与平衡位置的距离都是2，B正确；函数的周期T＝2π，即往复振动一次需2π s，C正确；当t＝π时，h＝2sin (π＋)＝2×(－)＝－≠－2，D错误．故选ABC. 4．设y＝f(t)是某港口水的深度y(单位：m)关于时间t(单位：时)的函数，其中0≤t≤24.下表是该港口某一天从0时至24时记录的时间t与水深y的关系： t 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y 12 15.1 12.1 9.1 11.9 14.9 11.9 8.9 12.1 经长期观察，函数y＝f(t)的图象可以近似地看成函数y＝k＋A sin (ωt＋φ)(A＞0)的图象，下面函数中，最能近似表示表中数据间对应关系的函数是(　　) A．y＝12＋3sin t，t∈[0，24] B．y＝12＋3sin (t＋π)，t∈[0，24] C．y＝12＋3sin t，t∈[0，24] D．y＝12＋3sin (t＋)，t∈[0，24] A　解析：将t＝0及t＝3分别代入给定的四个选项A，B，C，D中，可以看出最能近似表示表中数据间对应关系的函数是A. 5．一种波的波形为函数y＝－sin x的图象，若其在区间[0，t]上至少有2个波峰(图象的最高点)，则正整数t的最小值是________． 答案：7　解析：函数y＝－sin x的周期T＝4.且x＝3时y＝1取得最大值，因此t≥7.所以正整数t的最小值是7. 6．如图是电流强度I(单位：A)随时间t(单位：s)变化的函数I＝A sin (ωt＋)(A>0，ω>0)的图象，则当t＝s时，电流强度是________A. 答案：5　解析：由图象可知，A＝10，周期T＝2×(－)＝，所以ω＝＝100π，所以I＝10sin (100πt＋).当t＝ s时，I＝10sin (2π＋)＝5(A). 7．函数y＝sin (2x＋)＋cos (2x－)的振幅是________． 答案：2　解析：因为y＝sin (2x＋)＋cos (2x－)＝(sin 2x＋cos 2x)＋(cos 2x＋sin 2x)＝sin 2x＋cos 2x＝2(sin 2x＋cos 2x)＝2sin (2x＋)，所以函数y＝sin (2x＋)＋cos (2x－)的振幅是2. 8．如图，某动物种群数量1月1日(t＝0时)低至700，7月1日高至900，其总量在此两值之间按照正弦型曲线变化． (1)求出种群数量y关于时间t的函数表达式(其中t以年初以来的月为计量单位)； (2)估计当年3月1日动物种群数量． 解：(1)设种群数量y关于t的解析式为y＝A sin (ωt＋φ)＋b(A>0，ω>0)， 则解得A＝100，b＝800. 又周期T＝2×6＝12， ∴ω＝＝，∴y＝100sin (t＋φ)＋800. 又当t＝6时，y＝900，∴900＝100sin (×6＋φ)＋800， ∴sin (π＋φ)＝1，∴sin φ＝－1，∴可取φ＝－， ∴y＝100sin (t－)＋800. (2)当t＝2时，y＝100sin (×2－)＋800＝750， 即当年3月1日动物种群数量约是750. 9．如图，圆O的半径为1，A是圆上的定点，P是圆上的动点，角x的始边为射线OA，终边为