课时梯级训练(37) 对数函数的图象和性质(二)（Word练习）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册（人教A版2019）

课时梯级训练(37)　对数函数的图象和性质(二) 1．已知函数f(x)＝log2x，若函数g(x)是f(x)的反函数，则f(g(2))等于(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 B　解析：∵g(x)是f(x)的反函数，且f(x)＝log2x，∴g(x)＝2x，∴g(2)＝22＝4，则f(g(2))＝f(4)＝log24＝2. 2．设f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)＝log2x，则当x<0时，f(x)的解析式为(　　) A．f(x)＝－log2x B．f(x)＝log2(－x) C．f(x)＝－log2(－x) D．f(x)＝logx2 C　解析：当x<0时，－x>0，f(－x)＝log2(－x).又因为f(x)为奇函数，所以f(－x)＝－f(x)，所以f(x)＝－f(－x)，所以f(x)＝－log2(－x). 3．(多选)给出下列4个条件中能使y＝loga为单调减函数的是(　　) A． B． C． D． AD　解析：由y＝loga得，y＝－logax2，结合条件知AD满足条件． 4．设a>1，函数f(x)＝logax在区间[a，2a]上的最大值与最小值之差为，则a＝________． 答案：4　解析：∵a>1，∴f(x)＝logax在[a，2a]上单调递增， ∴loga(2a)－logaa＝，即loga2＝，∴a＝2，即a＝4. 5．已知f(x)＝log3x的值域是[－1，1]，那么它的反函数的值域为________． 答案：[，3]　解析：∵－1≤log3x≤1，∴log3≤log3x≤log33， ∴≤x≤3.∴f(x)＝log3x的定义域是[，3]，∴f(x)＝log3x的反函数的值域是[，3]. 6．设0<a<1，函数f(x)＝loga(2ax－2)，则使得f(x)<0的x的取值范围为________． 答案：(－∞，loga)　解析：由于y＝logax(0<a<1)在(0，＋∞)上为减函数，且f(x)<0，所以2ax－2>1，即ax>.由0<a<1，可得x<loga. 7．已知函数y＝(log2x－2)(log4x－)，2≤x≤8. (1)令t＝log2x，求y关于t的函数关系式，并写出t的取值范围； (2)求该函数的值域． 解：(1)y＝(log2x－2)(log4x－)＝(log2x－2)(log2x－)，令t＝log2x，得y＝(t－2)(t－1)＝t2－t＋1， 又2≤x≤8，∴1＝log22≤log2x≤log28＝3，即1≤t≤3. (2)由(1)得y＝(t－)2－，1≤t≤3， 当t＝时，ymin＝－； 当t＝3时，ymax＝1，∴－≤y≤1， 即函数的值域为[－，1]. 8．函数f(x)＝lg |x|为(　　) A．奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递减 B．奇函数，在区间(0，＋∞)上单调递增 C．偶函数，在区间(－∞，0)上单调递增 D．偶函数，在区间(－∞，0)上单调递减 D　解析：已知函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于坐标原点对称，且f(－x)＝lg |－x|＝lg |x|＝f(x)，所以它是偶函数；当x>0时，f(x)＝lg x在区间(0，＋∞)上单调递增，又因为f(x)为偶函数，所以f(x)＝lg |x|在区间(－∞，0)上单调递减． 9．函数f(x)＝lg (＋x)的奇偶性为(　　) A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数 D．既是奇函数又是偶函数 A　解析：易知该函数的定义域为R，又f(x)＋f(－x)＝lg(＋x)＋lg (－x)＝lg [(＋x)·(－x)]＝lg 1＝0，∴f(x)＝－f(－x)，∴f(x)为奇函数． 10．设f(x)＝则f(x)的值域为________，f(x)≤的解集为________． 答案：(－∞，2)　(－∞，－1]∪[1，＋∞)　解析：当x≥1时，f(x)＝＝0.当x＜1时，f(x)＝2x∈(0，2)，故函数f(x)的值域为(－∞，2).当x≥1时，由f(x)≤，得x≥1；当x＜1时，由f(x)≤，得x≤－1，故f(x)≤的解集为(－∞，－1]∪[1，＋∞). 11．如图，已知正方形ABCD的边长为2，BC平行于x轴，顶点A，B和C分别在函数y1＝3logax，y2＝2logax和y3＝logax(a>1)的图象上，则实数a的值为________． 答案：　解析：设B(x，2logax)，∵BC平行于x轴，∴C(x′，2logax)，即logax′＝2logax，∴x′＝x2，∴正方形ABCD的边长＝|BC|＝x2－x＝2，解得x＝2.由已知，得AB垂直于x轴，∴A(x，3logax)，正方形ABCD边长＝|AB|＝3logax－2logax＝log