课时梯级训练(34) 换底公式（Word练习）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册（人教A版2019）

课时梯级训练(34)　换底公式 1．log52·log425＝(　　) A．－1 B． C．1 D．2 C　解析：log52·log425＝·＝·＝1. 2．已知2x＝3y＝k，且＋＝1，则k的值为(　　) A．6 B． C．2 D．3 A　解析：∵2x＝3y＝k，∴x＝log2k，y＝log3k，∴＝logk2，＝logk3，∴1＝＋＝logk2＋logk3＝logk6，∴k＝6，故选A. 3．若log5·log36·log6x＝2，则x等于(　　) A．9 B． C．25 D． D　解析：原式＝××＝＝2， ∴－lg x＝2lg 5＝lg 52＝lg 25，∴x＝. 4．已知正实数a，b，c满足log2a＝log3b＝log6c，则(　　) A．a＝bc B．b2＝ac C．c＝ab D．c2＝ab C　解析：由题得令log2a＝log3b＝log6c＝k，则a＝2k，b＝3k，c＝6k，∴c＝6k＝(2×3)k＝2k×3k＝ab. 5．计算：log2·log3·log5＝________． 答案：－12　解析：原式＝··＝＝－12. 6．若mlog35＝1，n＝5m＋5－m，则n的值为________． 答案：　解析：∵mlog35＝1，∴m＝＝log53，∴n＝5m＋5－m＝＝3＋＝. 7．已知f(x)＝kx＋－4(k∈R)，f(lg 2)＝0，则f(lg )＝__________． 答案：－8　解析：f(lg 2)＝k lg 2＋－4＝0，∴k＝＝，f(lg )＝·(－lg 2)－－4＝－8. 8．在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度v(单位：m/s)和燃料的质量M(单位：kg)，火箭(除燃料外)的质量m(单位：kg)满足ev＝(1＋)2 000(e为自然对数的底数).当燃料质量M为火箭(除燃料外)质量m的两倍时，求火箭的最大速度(单位：m/s).(参考数据：ln 3≈1.099) 解：因为v＝ln (1＋)2 000＝2 000 ln (1＋)， 所以v＝2 000 ln 3≈2 000×1.099＝2 198(m/s). 故当燃料质量M为火箭(除燃料外)质量m的两倍时，火箭的最大速度为2 198 m/s. 9．已知x，y，z为正数，3x＝4y＝6z，且2x＝py. (1)求p； (2)求证：－＝. (1)解：设3x＝4y＝6z＝k(显然k>0，且k≠1)，则x＝log3k，y＝log4k，z＝log6k.由2x＝py，得2log3k＝plog4k＝p·.∵log3k≠0，∴p＝2log34. (2)证明：－＝－＝logk6－logk3＝logk2＝logk4＝，∴－＝. 10. 等于(　　) A．lg 3 B．－lg 3 C． D．－ C　解析：原式＝＝＝log310＝. 11．Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域，有学者根据公布的数据建立了某地区某种流行病累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：I(t)＝，其中K为最大确诊病例数．当I(t*)＝0.9K时，标志着已初步遏制病毒流行，则t*约为(注：e为自然对数的底数，ln 9≈2.2)(　　) A．60 B．62 C．66 D．69 B　解析：∵I(t*)＝＝0.9K，∴1＋e－0.24(t*－53)＝，e－0.24(t*－53)＝，则－0.24(t*－53)＝ln ＝－ln 9≈－2.2，解得t*≈62.故选B. 12．若实数a＞b＞1，且logab＋logba＝，则logab＝________；＝________． 答案：　1　解析：logab＋logba＝⇒logab＋＝⇒logab＝2或.因为a＞b＞1，所以logab＜1，所以logab＝⇒b＝a⇒b2＝a，所以＝1. 13．十六、十七世纪之交，随着天文、航海、工程、贸易以及军事的发展，改进数字计算方法成了当务之急，数学家纳皮尔在研究天文学的过程中，为简化计算发明了对数直到十八世纪才由瑞士数学家欧拉发现了指数与对数的互逆关系，即ab＝N⇔b＝logaN现在已知a＝log48，b＝log24，则4a＝________，a＋b＝________．(用最简结果作答) 答案：8　　解析：a＝log48，b＝log24，则4a＝＝8， a＋b＝＋2＝＋2＝. 14．已知logax＋3logxa－logxy＝3(a>1)，若设x＝at，试用含a，t的式子表示y. 解：由换底公式，得logax＋－＝3(a>1)， 所以logay＝(logax)2－3logax＋3. 当x＝at时，logax＝logaat＝t， 所以log