课时梯级训练(30) 指数函数的图象和性质(二)（Word练习）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册（人教A版2019）

课时梯级训练(30)　指数函数的图象和性质(二) 1．方程42x－1＝16的解是(　　) A．x＝－ B．x＝ C．x＝1 D．x＝2 B　解析：∵42x－1＝42，∴2x－1＝2，∴x＝. 2．设f(x)＝a－(x∈R)是奇函数，则(　　) A．a＝，且f(x)为增函数 B．a＝－1，且f(x)为增函数 C．a＝，且f(x)为减函数 D．a＝－1，且f(x)为减函数 A　解析：∵f(x)为R上的奇函数，∴f(0)＝a－＝0，即a＝，∴f(x)＝－，可知f(x)为R上的增函数． 3．若函数f(x)＝3x＋3－x与g(x)＝3x－3－x的定义域均为R，则(　　) A．f(x)与g(x)均为偶函数 B．f(x)为偶函数，g(x)为奇函数 C．f(x)与g(x)均为奇函数 D．f(x)为奇函数，g(x)为偶函数 B　解析：∵f(x)＝3x＋3－x，∴f(－x)＝3－x＋3x，∴f(x)＝f(－x)，即f(x)是偶函数．∵g(x)＝3x－3－x，∴g(－x)＝3－x－3x，∴g(x)＝－g(－x)，即函数g(x)是奇函数． 4．已知a＝，函数f(x)＝ax，若实数m，n满足f(m)>f(n)，则m，n的大小关系为________． 答案：m<n　解析：∵a＝∈(0，1)，∴f(x)＝ax在R上是减函数，又f(m)>f(n)，∴m<n. 5．已知指数函数y＝b·ax在[b，2]上的最大值与最小值的和为6，则a＝________． 答案：2　解析：由指数函数定义知，b＝1.故a＋a2＝6.解得a＝2，或a＝－3，又a>0，∴a＝2. 6．函数y＝的值域是______． 答案：(0，4]　解析：由u(x)＝x2＋2x－1＝(x＋1)2－2≥－2，指数函数y＝()u为减函数，且y＝()u>0，则0<()u≤()－2＝4，所以y＝的值域是(0，4]. 7．已知指数函数f(x)的图象过点(2，). (1)求函数f(x)的解析式； (2)已知f(|x|)>f(1)，求x的取值范围． 解：(1)设f(x)＝ax(a>0，且a≠1). 将点(2，)代入得＝a2.解得a＝，故f(x)＝()x. (2)由(1)知f(x)＝()x，显然f(x)在R上是减函数， 又f(|x|)>f(1)，所以|x|<1，解得－1<x<1. 即x的取值范围为(－1，1). 8．已知－1≤x≤1，求函数y＝4·3x－2·9x的最大值． 解：因为y＝4·3x－2·9x＝4·3x－2·(3x)2. 令t＝3x，则y＝4t－2t2＝－2(t－1)2＋2， 因为－1≤x≤1，所以≤3x≤3，即t∈[，3]. 又因为y＝4t－2t2的对称轴t＝1∈[，3]， 所以当t＝1，即x＝0时，ymax＝2. 9．已知函数f(x)＝()|x|，设a＝f(20.3)，b＝f(0.32)，c＝f(1)，则a，b，c的大小关系是(　　) A．b>c>a B．b>a>c C．c>a>b D．a>b>c A　解析：因为20.3>1＞>0.32>0，且f(x)＝()|x|在(0，＋∞)上是减函数，所以f(20.3)<f(1)<f(0.32)，即b>c>a. 10．已知函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)在(0，2)内的值域是(1，a2)，则函数y＝f(x)的大致图象是(　　) B　解析：因为函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)在(0，2)内的值域是(1，a2)，又指数函数是单调函数，所以a>1.由底数大于1的指数函数的图象上升，且在x轴上方，可知B正确． 11．函数f(x)＝＋2，若有f(a)＋f(a－2)＞4，则a的取值范围是________． 答案：(1，＋∞)　解析：设F(x)＝f(x)－2，则F(x)＝，易知F(x)是奇函数，F(x)＝＝＝1－在R上是增函数，由f(a)＋f(a－2)＞4得F(a)＋F(a－2)＞0，于是可得F(a)＞F(2－a)，即a＞2－a，解得a＞1. 12．函数f(x)＝(a>0，且a≠1)是R上的减函数，则a的取值范围是________． 答案：[，1)　解析：由题意知f(x)是R上的减函数，则即≤a<1，故a的取值范围是[，1). 13．已知函数f(x)＝. (1)求f(f(0)＋4)的值； (2)求证：f(x)在R上是增函数； (3)解不等式：0＜f(x－2)＜. (1)解：∵f(0)＝＝0， ∴f(f(0)＋4)＝f(0＋4)＝f(4)＝＝. (2)证明：设x1，x2∈R且x1＜x2，则2x2>2x1＞0，2x2－2x1＞0， ∵f(x2)－f(x1)＝－＝>0， ∴f(x1)＜f(x2)，∴f(x)在R上是增函数． (3)解：由0＜f(x－2)＜得f(0)＜f(x－2)＜f(4)， 又f(x)在R上是增函数，∴0＜x－