课时梯级训练(15) 二次函数与一元二次方程、不等式（Word练习）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册（人教A版2019）

课时梯级训练(15)　二次函数与一元二次方程、不等式 1．下列四个不等式： ①－x2＋x＋1≥0；②x2－2x＋>0；③x2＋6x＋10>0；④2x2－3x＋4<1.其中解集为R的是(　　) A．① B．② C．③ D．④ C　解析：①的图象开口向下，显然不可能；②中Δ＝(－2)2－4×>0，解集不为R；③中Δ＝62－4×10<0，满足条件；④中不等式可化为2x2－3x＋3<0，所对应的二次函数开口向上，显然不可能．故选C. 2．设m＋n>0，则关于x的不等式(m－x)(n＋x)>0的解集是(　　) A．{x|x<－n或x>m} B．{x|－n<x<m} C．{x|x<－m或x>n} D．{x|－m<x<n} B　解析：方程(m－x)(n＋x)＝0的两根为m，－n，因为m＋n>0，所以m>－n，结合函数y＝(m－x)(n＋x)的图象(图略)，得不等式的解集是{x|－n<x<m}． 3．已知集合A＝{x|x2－16<0}，B＝{x|x2－4x＋3>0}，则A∪B等于(　　) A．{x|x<1} B．{x|3<x<4} C．{x|1<x<3} D．R D　解析：由题得A＝{x|－4<x<4} ，B＝{x|x>3 或 x<1}，所以A∪B ＝R. 故选D. 4．(多选)已知a∈Z，关于x的一元二次不等式x2－6x＋a≤0的解集中有且仅有3个整数，则a的值可以是(　　) A．6 B．7 C．8 D．9 ABC　解析：设y＝x2－6x＋a，其图象为开口向上，对称轴是x＝3的抛物线，如图所示． 若关于x的一元二次不等式x2－6x＋a≤0的解集中有且仅有3个整数，因为对称轴为x＝3，则解得5<a≤8，又a∈Z，故a可以为6，7，8. 故选ABC. 5．不等式x2－2x－6<0 的解集为________． 答案：{x|－＜x＜3}　解析：x2－2x－6<0 可化为(x－3)(x＋)<0 ，故解集为{x|－＜x＜3}． 6．解下列不等式： (1)2x2＋7x＋3>0； (2)－4x2＋18x－≥0; (3)－2x2＋3x－2<0； (4)－x2＋3x－5>0. 解：(1)因为Δ＝72－4×2×3＝25>0，所以方程2x2＋7x＋3＝0有两个不等实根x1＝－3，x2＝－. 又二次函数y＝2x2＋7x＋3的图象开口向上， 所以原不等式的解集为{x|x<－3或x>－}． (2)原不等式可化为(2x－)2≤0， 所以原不等式的解集为. (3)原不等式可化为2x2－3x＋2>0， 因为Δ＝9－4×2×2＝－7<0， 所以方程2x2－3x＋2＝0无实根， 又二次函数y＝2x2－3x＋2的图象开口向上，所以原不等式的解集为R. (4)原不等式可化为x2－6x＋10<0，Δ＝(－6)2－40＝－4<0，所以方程x2－6x＋10＝0无实根，又二次函数y＝x2－6x＋10的图象开口向上，所以原不等式的解集为∅. 7．已知关于x的不等式ax2＋5x＋c>0的解集为. (1)求a，c的值； (2)解关于x的不等式ax2＋(ac＋2)x＋2c≥0. 解：(1)由题意知，不等式对应的方程ax2＋5x＋c＝0的两个实数根为和， 由根与系数的关系，得解得a＝－6，c＝－1. (2)由(1)知不等式ax2＋(ac＋2)x＋2c≥0可化为－6x2＋8x－2≥0， 即3x2－4x＋1≤0，解得≤x≤1， 所以不等式的解集为. 8．不等式mx2－ax－1>0(m>0)的解集可能是(　　) A． B．R C． D．∅ A　解析：因为Δ＝a2＋4m>0，所以函数y＝mx2－ax－1的图象与x轴有两个交点，又m>0，所以原不等式的解集不可能是B，C，D，故选A. 9．在R上定义运算“⊙”：a⊙b＝ab＋2a＋b，则满足x⊙(x－2)<0的实数x的取值范围为(　　) A．{x|0<x<2} B．{x|－2<x<1} C．{x|x<－2或x>1} D．{x|－1<x<2} B　解析：根据给出的定义得，x⊙(x－2)＝x(x－2)＋2x＋(x－2)＝x2＋x－2＝(x＋2)(x－1)，又x⊙(x－2)<0，则(x＋2)(x－1)<0，故不等式的解集是{x|－2<x<1}． 10．(多选)若不等式ax2－bx＋c>0的解集是{x|－1<x<2}，则下列选项正确的是(　　) A．b<0且c>0 B．a－b＋c>0 C．a＋b＋c>0 D．不等式ax2＋bx＋c>0的解集是{x|－2<x<1} ABD　解析：对于A，a<0，－1，2是方程ax2－bx＋c＝0的两个根，所以－1＋2＝1＝，－1×2＝，所以b＝a，c＝－2a，所以b<0，c>0，所以A正确；对于B，令y＝ax2－bx＋c，由