课时梯级训练(14) 基本不等式的综合应用（Word练习）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册（人教A版2019）

课时梯级训练(14)　基本不等式的综合应用 1．若a，b∈R，则a2＋b2与2|ab|的大小关系是(　　) A．a2＋b2≥2|ab| B．a2＋b2＝2|ab| C．a2＋b2≤2|ab| D．a2＋b2>2|ab| A　解析：∵a2＋b2－2|ab|＝(|a|－|b|)2≥0，当且仅当|a|＝|b|时，等号成立，∴a2＋b2≥2|ab|. 2．某工厂生产某种产品，第一年产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，这两年的平均增长率为x(a，b，x均大于零)，则(　　) A．x＝ B．x≤ C．x> D．x≥ B　解析：由题意得，A(1＋a)(1＋b)＝A(1＋x)2，则(1＋a)(1＋b)＝(1＋x)2，因为(1＋a)(1＋b)≤()2，所以1＋x≤＝1＋，所以x≤，当且仅当a＝b时取等号，故选B. 3．已知a>0，b>0，ab＝1，且m＝b＋，n＝a＋，则m＋n的最小值是(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 B　解析：m＋n＝b＋＋a＋＝2a＋2b≥2＝4，当且仅当a＝b＝1时，等号成立．即m＋n的最小值是4. 4．∃x>0，使得＋x－a≤0，则实数a的取值范围是(　　) A．a>2 B．a≥2 C．a<2 D．a≤2 B　解析：∃x>0，使得＋x－a≤0，等价于a≥(x＋)min，∵x＋≥2＝2，当且仅当x＝1时等号成立，∴a≥2. 5．已知a，b，c是两两不等的实数，则a2＋b2＋c2与ab＋bc＋ca的大小关系是____________． 答案：a2＋b2＋c2＞ab＋bc＋ac　解析：∵a，b，c互不相等，∴a2＋b2＞2ab，b2＋c2>2ac，a2＋c2>2ac，∴2(a2＋b2＋c2)>2(ab＋bc＋ac).即a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ac. 6．设0＜x＜1，则当＋取得最小值时，x的值是________． 答案：　解析：∵0＜x＜1，则1－x>0，由基本不等式可得＋＝[(1－x)＋x]·(＋)＝＋＋5≥2＋5＝9，当且仅当＝，即x＝时，等号成立． 7．设a，b满足2a＋3b＝6(a＞0，b＞0)，则＋的最小值是__________． 答案：　解析：∵2a＋3b＝6，∴＋＝1，∴＋＝(＋)(＋)＝＋＋≥＋2＝＋2＝，当且仅当＝，即a＝b＝时，等号成立． 8．已知a>b>c，你能比较出4与(＋)·(a－c)的大小吗？ 解：因为a－c＝(a－b)＋(b－c)， 所以(＋)[(a－b)＋(b－c)]＝2＋＋， 又a>b>c，所以a－b>0，b－c>0，所以＋≥2， 故(＋)(a－c)≥4，当且仅当＝时，等号成立． 9．设a>0，b>0，a＋b＝5，求＋的最大值． 解：设＝m，＝n， ∴m>0，n>0，且m2＋n2＝a＋b＋4＝9. 由(m＋n)2＝m2＋n2＋2mn≤2(m2＋n2)，即(m＋n)2≤18， ∴m＋n≤3，当且仅当m＝n＝时，等号成立， 即＋的最大值为3. 10．已知x>0，y>0，且＋＝1，若x＋2y>m2恒成立，则实数m的取值范围是(　　) A．m≤－2或m≥2 B．m≤－4或m≥2 C．－2＜m＜4 D．－2＜m＜2 D　解析：∵x>0，y>0且＋＝1，∴x＋2y＝(x＋2y)·(＋)＝4＋＋≥4＋2＝8，当且仅当＝，即x＝4，y＝2时取等号，∴(x＋2y)min＝8，要使x＋2y>m2恒成立，只需(x＋2y)min>m2恒成立，即8>m2，解得－2<m<2. 11．设自变量x对应的因变量为y，在满足对任意的x，不等式y≤M都成立的所有常数M中，将M的最小值叫做y的上确界．若a，b为正实数，且a＋b＝1，则－－的上确界为(　　) A．－ B． C． D．－4 A　解析：因为a，b为正实数，且a＋b＝1，所以＋＝(＋)(a＋b)＝＋(＋)≥＋2＝，当且仅当b＝2a，即a＝，b＝时，等号成立，因此有－－≤－，即－－的上确界为－. 12．若正数a，b满足ab＝a＋b＋3，则ab的取值范围是________． 答案：{x|x≥9}　解析：∵a＞0，b＞0，∴ab＝a＋b＋3≥2＋3，即ab－2－3≥0，解得≥3，即ab≥9. 13．已知x，y是正数且x＋y＝1，则＋的最小值为__________． 　解析：由x＋y＝1，得(x＋2)＋(y＋1)＝4，即[(x＋2)＋(y＋1)]＝1，∴＋＝(＋)·[(x＋2)＋(y＋1)]＝[4＋1＋＋)≥，当且仅当x＝，y＝时，等号成立，取得最小值为. 14．已知实数a，b满足0<a<1，0<b<1. (1)若a＋b＝1，求(1＋)(1＋)的最小值； (2)设0<m<12，求＋的最小值． 解：已知实数a，b满足0<a<1，0