课时梯级训练(12) 基本不等式（Word练习）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册（人教A版2019）

课时梯级训练(12)　基本不等式 1．已知x>0，若x＋的值最小，则x为(　　) A．81 B．9 C．3 D．16 B　解析：因为x>0，所以x＋≥2＝18，当且仅当x＝，即x＝9时等号成立． 2．已知m＝a＋＋1(a>0)，n∈{x|0<x＜3}，则m，n之间的大小关系是(　　) A．m>n B．m<n C．m＝n D．m≤n A　解析：因为a>0，所以m＝a＋＋1≥2＋1＝3，当且仅当a＝1时等号成立．所以m>n. 3．下列各式中最小值为2的是(　　) A．y＝t＋(t>1) B．y＝＋ C．y＝t＋(t>1) D．y＝t＋＋1(t>0) B　解析：A中，y＝t＋≥2，当且仅当t＝1时等号成立，又t＞1，故A不符合题意；B中，y＝＋≥2，当且仅当t＝1时等号成立；C中，y＝t＋＝t－1＋＋1≥3，故C不符合题意；D中，y＝t＋＋1≥3，故D不符合题意． 4．小王从甲地到乙地的往返时速分别为a和b(a<b)，其全程的平均时速为v，则(　　) A．a<v< B．v＝ C．<v< D．v＝ A　解析：设甲、乙两地之间的距离为s. ∵a<b，∴v＝＝＝<＝. 又v－a＝－a＝>＝0，∴v>a. 5．(多选)设a，b∈R，且a≠b，a＋b＝2，则必有(　　) A．ab>1 B．ab<1 C. <1 D．>1 BD　解析：由基本不等式可得ab≤()2＝1，∵a≠b，∴ab<1，故A错误，B正确；又1＝＝<＝(a2＋b2)，∴ (a2＋b2)>1，所以 ab<1<(a2＋b2)，故C错误，D正确． 6．已知a＞b＞c，则与的大小关系是________． 答案：≤　解析：∵a＞b＞c，∴a－b＞0，b－c＞0，∴＝≥.当且仅当a－b＝b－c，即2b＝a＋c时等号成立． 7．已知正数x，y满足x＋＝1，则y＋ 的最小值为______________________． 答案：9　解析：y＋＝(y＋)(x＋)＝xy＋＋5≥2＋5＝9，当且仅当 xy＝，即 x＝，y＝3 时，等号成立． 8．已知x>3，求＋x的最小值． 解：因为x>3，所以x－3>0， 所以＋x＝＋(x－3)＋3≥2＋3＝2＋3＝7， 当且仅当＝x－3，即x＝5时，等号成立． 所以＋x的最小值为7. 9．已知x>0，y>0，4x＋y＝3. (1)求xy的最大值； (2)求＋ 的最小值． 解：(1)4x＋y≥2，3≥2， 当且仅当4x＝y，即x＝，y＝时等号成立，所以xy≤， 所以xy的最大值为 . (2)因为 ＝1， 所以(＋)(＋)＝＋＋8≥2＋8＝16， 当且仅当＝，即 x＝，y＝时等号成立， 所以＋的最小值为16. 10．已知x>0，y>0，且x＋2y＝4，则(1＋x)(1＋2y)的最大值为(　　) A．16 B．9 C．4 D．36 B　解析：(1＋x)(1＋2y)≤[]2＝()2＝9，当且仅当1＋x＝1＋2y，即x＝2，y＝1时，等号成立． 11．(多选)已知正常数a，b和正变数x，y满足a＋b＝10，＋＝1，x＋y的最小值为18，则a，b的值是(　　) A．a＝4，b＝6 B．a＝6，b＝4 C．a＝2，b＝8 D．a＝8，b＝2 CD　解析：因为a，b是正常数，x，y是正变量，所以x＋y＝(x＋y)(＋)＝a＋b＋＋≥a＋b＋2，当且仅当＝时，取等号，此时a＋b＋2＝18，所以解得或故CD正确． 12．若实数a，b满足＋＝，则ab的最小值是________． 答案：2　解析：由题意，得a>0，b>0.∵＝＋≥2＝，当且仅当＝时等号成立，∴ab≥2. 13．(1)把49写成两个正数的积，当这两个正数各取何值时，它们的和最小； (2)把12写成两个正数的和，当这两个正数各取何值时，它们的积最大． 解：(1)设x>0，y>0，xy＝49，由均值不等式，得x＋y≥2＝14，当且仅当x＝y时，取等号． 由得x＝y＝7， 即当x＝y＝7时，x＋y取得最小值14. (2)设x>0，y>0，x＋y＝12，由均值不等式，得xy≤()2＝()2＝36. 当且仅当x＝y时，取等号，由 得x＝y＝6，即当x＝y＝6时，xy取得最大值36. 14．已知x，y为正实数，3x＋2y＝10，求W＝＋的最大值． 解：∵x，y为正实数，3x＋2y＝10， ∴W2＝3x＋2y＋2≤10＋(3x＋2y)＝20， 当且仅当3x＝2y，3x＋2y＝10， 即x＝，y＝时，等号成立． ∴W≤2，即W的最大值为2. 学科网（北京）股份有限公司 $