课时梯级训练(8) 全称量词与存在量词（Word练习）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学必修第一册（人教A版2019）

课时梯级训练(8)　全称量词与存在量词 1．设非空集合P，Q满足P⊆Q，则表述正确的是(　　) A．∀x∈Q，有x∈P B．∀x∈P，有x∈Q C．∃xQ，使得x∈P D．∃x∈P，使得xQ B　解析：因为P⊆Q，则由子集的定义知P集合中的任何一个元素都在Q中，所以选B. 2．下列命题是“∀x∈R，x2>3”的另一种表述方法的是(　　) A．有一个x∈R，使得x2>3 B．对有些x∈R，使得x2>3 C．任选一个x∈R，使得x2>3 D．至少有一个x∈R，使得x2>3 C　解析：“∀x∈R，x2>3”是全称量词命题，改写时应使用全称量词． 3．下列存在量词命题是假命题的是(　　) A．存在x∈Q，使2x－x3＝0 B．存在x∈R，使x2＋x＋1＝0 C．有的质数是偶数 D．有的有理数没有倒数 B　解析：对于任意的x∈R，x2＋x＋1＝(x＋)2＋>0恒成立． 4．下列四个命题中，既是全称量词命题又是真命题的是(　　) A．斜三角形的内角是锐角或钝角 B．至少有一个实数x，使x2>0 C．任意无理数的平方必是无理数 D．存在一个负数x，使>2 A　解析：只有A，C两个选项中的命题是全称量词命题；且A显然为真命题．因为是无理数，而()2＝2不是无理数，所以C为假命题． 5．下面四个命题： ①∀x∈R，x2≥0恒成立；②∃x∈Q，x2＝2；③∃x∈R，x2＋1＝0. 其中真命题的个数为(　　) A．3 B．2 C．1 D．0 C　解析：∵x2≥0，∴①为真命题．∵当且仅当x＝±时，x2＝2，∴不存在x∈Q，使得x2＝2，∴②为假命题．对∀x∈R，x2＋1≠0，∴③为假命题．故选C. 6．命题“有些负数满足不等式(1＋x)(1－9x)2>0”用“∃”写成存在量词命题为______________________． 答案：∃x<0，(1＋x)(1－9x)2>0　解析：存在量词命题“存在M中的元素x，使p(x)成立”可用符号简记为“∃x∈M，p(x)”．故命题为∃x＜0，(1＋x)(1－9x)2＞0. 7．对任意x>3，x>a恒成立，则实数a的取值范围是________． 答案：a≤3　解析：对任意x>3，x>a恒成立，即大于3的数恒大于a，∴a≤3. 8．用量词符号“∀”“∃”表述下列命题，并判断真假． (1)所有实数x都能使x2＋x＋1>0成立． (2)对所有实数a，b，方程ax＋b＝0恰有一个解． (3)一定有整数x，y，使得3x－2y＝10成立． 解：(1)∀x∈R，x2＋x＋1>0，为真命题． (2)∀a，b∈R，ax＋b＝0恰有一解，为假命题． (3)∃x，y∈Z，3x－2y＝10，为真命题． 9．已知命题“存在－3≤x≤2，3a＋x－2＝0”为真命题，求实数a的取值范围． 解：由3a＋x－2＝0，得3a－2＝－x， ∵－3≤x≤2，∴－2≤－x≤3， ∴－2≤3a－2≤3，即0≤a≤， 故实数a的取值范围是. 10．(多选)下列四个命题中是假命题的为(　　) A．存在x∈Z，1<4x<3 B．存在x∈Z，5x＋1＝0 C．任意x∈R，x2－1＝0 D．任意x∈R，x2＋2>0 ABC　解析：选项A中，<x<且x∈Z，不成立；选项B中，x＝－，与x∈Z矛盾；选项C中，x≠±1时，x2－1≠0；选项D正确． 11．已知命题p：∃x∈R，x2＋2x－a＝0，若p为假命题，则实数a的取值范围是(　　) A．a>－1 B．a<－1 C．a≥－1 D．a≤－1 B　解析：依题意得，方程x2＋2x－a＝0无实根， 所以必有Δ＝4＋4a<0，解得a<－1. 12．设q(x)：x2＝x，试用不同的表达方法写出存在量词命题“∃x∈R，q(x)”． 解：依题意可得以下几种不同的表述： ①存在实数x，使x2＝x成立； ②至少有一个x∈R，使x2＝x成立； ③有些实数x，使x2＝x成立； ④有一个x∈R，使x2＝x成立； ⑤某一个x∈R，使x2＝x成立．(答案不唯一) 学科网（北京）股份有限公司 $