立体几何初步的综合应用课件--2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

立体几何初步的综合应用 回顾本单元知识 空间几何体： 立体图形的直观图；柱锥台球的表面积和体积 空间点、直线、平面的位置关系： 平面的基本性质；空间中直线、平面的平行；空间中直线、平面的垂直 空间平行、垂直关系之间的转化 3、（三棱柱的外接球，球面性质，补形思想）已知三棱柱的顶点都在球的球面上，若，则球的表面积为（ ） 3、（三棱柱的外接球，球面性质，补形思想）已知三棱柱的顶点都在球的球面上，若，则球的表面积为（ ） 1. (2020课标Ⅰ卷.理)已知为球的球面上的三个点，为的外接圆， 若的面积为，，则球的表面积为(　　) A． B． C． D． 解：设圆半径为，球的半径为，依题意，得， 为等边三角形，由正弦定理可得， ，根据球的截面性质平面， ， 球的表面积．故选A 2. （2021全国甲卷）已知直三棱柱中，侧面为正方形， ，分别为和的中点，. （1）求三棱锥的体积； （2）已知为棱上的点，证明：. 解：（1）如图， 因为，所以， 又，所以平面， 所以，因为分别为和的中点， 所以为等腰直角三角形，且， 所以， 因此. 2. （2021全国甲卷）已知直三棱柱中，侧面为正方形， ，分别为和的中点，. （1）求三棱锥的体积； （2）已知为棱上的点，证明：. （2）方法一：如图，连接，因为,为中点， 所以 又直三棱柱中，， 所以平面 而平面，所以， 连接，可知， ， 2. （2021全国甲卷）已知直三棱柱中，侧面为正方形， ，分别为和的中点，. （1）求三棱锥的体积； （2）已知为棱上的点，证明：. 所以，所以， 又， 所以平面 ，所以， 又， 所以平面，而平面， 所以. 2. （2021全国甲卷）已知直三棱柱中，侧面为正方形， ，分别为和的中点，. （1）求三棱锥的体积； （2）已知为棱上的点，证明：. 方法二：（1）如图，取的中点为，连接， 因为为的中点，所以， 由已知，，所以 因为，，所以 又， 所以平面 所以 2. （2021全国甲卷）已知直三棱柱中，侧面为正方形， ，分别为和的中点，. （1）求三棱锥的体积； （2）已知为棱上的点，证明：. （2）连接，由（1）知，， 所以平面 在正方形中，因为分别是的中点， 所以由平面几何知识可得 又， 所以平面，又平面 所以 方法三：由（1）的结论可将几何体补形为一个棱长为2的正方体， 如图，取棱的中点，连结， 在正方形中，为中点，则， 又， 所以平面，而平面， 所以. 2. （2021全国甲卷）已知直三棱柱中，侧面为正方形， ，分别为和的中点，. （1）求三棱锥的体积； （2）已知为棱上的点，证明：. 解:方法一：如图，因为， 所以的外接圆圆心即为中点， 同理，的外接圆圆心即为中点，的中点为球心 由得，又， 所以,所以， 解: 方法二：补形，因为两两垂直， 补形为以为棱的长方体，球为长方体的外接球， 所以， 所以， 4（正四面体的内切球与外接球）已知正四面体的长为 ，它的内切球与外接球的表面积的比等于________. 解：设正四面体的内切球半径为，一个面的面积为，高为， 则，由正四面体内切球特征，得 ，解得 设正四面体的外接球半径为，将正四面体放入一个正方体中，设正方体棱长为， 则，所以，正四面体的外接球即为该正方体的外接球， 所以，解得， 所以，答案： $