专题05 解题技巧专题：特殊平行四边形中定值、最小值、最大值、动点、中点四边形问题之五大考点-【学霸满分】2023-2024学年九年级数学上册重难点专题提优训练（北师大版）

专题05 解题技巧专题：特殊平行四边形中定值、最小值、最大值、动点、中点四边形问题之五大考点 【考点导航】 目录 【典型例题】 1 【考点一 特殊平行四边形中求定值问题】 1 【考点二 特殊平行四边形中求最小值问题】 5 【考点三 特殊平行四边形中求最大值问题】 8 【考点四 特殊平行四边形中动点问题】 15 【考点五 特殊平行四边形中点四边形问题】 23 【典型例题】 【考点一 特殊平行四边形中求定值问题】 例题：（2023春·浙江·八年级专题练习）如图，在边长为10的菱形中，对角线，则菱形的面积是____，若点O是线段上的动点，于E，于F．则____． 【变式训练】 1．（2023·四川内江·统考中考真题）出入相补原理是我国古代数学的重要成就之一，最早是由三国时期数学家刘徽创建．“将一个几何图形，任意切成多块小图形，几何图形的总面积保持不变，等于所分割成的小图形的面积之和”是该原理的重要内容之一、如图，在矩形中，，，对角线与交于点O，点E为边上的一个动点，，，垂足分别为点F，G，则___________．    2．（2023春·全国·八年级专题练习）如图，已知四边形是正方形，，点E为对角线上一动点，连接．过点E作，交射线点F，以为邻边作矩形．连接． (1)连接，求证：． (2)求证：矩形是正方形． (3)探究：的值是否为定值？若是，请求出这个定值，若不是，请说明理由． 【考点二 特殊平行四边形中求最小值问题】 例题：（2023春·河南开封·九年级金明中小学校考阶段练习）如图，菱形的对角线，相交于点，点为边上一动点（不与点，重合），于点，于点，若，，则的最小值为________． 【变式训练】 1．（2023春·江苏·八年级专题练习）如图，在矩形中，，，点、分别在、上，则的最小值是___． 2．（2023春·福建福州·八年级统考期中）如图，已知菱形的边长为，，为的中点，若为对角线上一动点，则的最小值为___________． 3．（2023秋·河南郑州·九年级校联考期末）如图，矩形中，，G是的中点，线段在边上左右滑动；若，则的最小值为 _____． 【考点三 特殊平行四边形中求最大值问题】 例题：（2023春·江苏·八年级专题练习）如图，在正方形中，，与交于点O，N是的中点，点M在边上，且，P为对角线上一点，则的最大值为_____________． 【变式训练】 1．（2023·陕西宝鸡·统考二模）如图，在菱形中，，点E为边的中点，点P在对角线上运动，且，则长的最大值为_________． 2．（2023春·江苏常州·八年级常州实验初中校考期中）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，以BC为斜边在矩形的外部作直角三角形BEC，点F是CD的中点，则EF的最大值为__． 3．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，在菱形中，，对角线交于点，，点为的中点，点为上一点，且，点为上一动点，连接，则的最大值为________．    4．（2023春·四川南充·八年级四川省南充高级中学校考阶段练习）如图，在菱形中，，为正三角形，在菱形的边上． (1)证明：． (2)当点分别在边上移动时(保持为正三角形)，请探究四边形的面积是否发生变化？若不变，求出这个定值；如果变化，求出其最大值． (3)在(2)的情况下，请探究的面积是否发生变化？若不变，求出这个定值；如果变化，求出其最大值． 【考点四 特殊平行四边形中动点问题】 例题：（2023春·四川自贡·八年级四川省荣县中学校校考期中）如图，在四边形中，动点从点出发，以的速度向点B运动，同时动点从点出发，以的速度向点运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为秒． (1)当四边形是平行四边形时，求的值； (2)当为多少秒时，四边形是矩形； (3)在点运动过程中，若四边形能够成为菱形，求的长度． 【变式训练】 1．（2023春·江苏无锡·八年级校考阶段练习）已知，如图，O为坐标原点，四边形为矩形，，点D是中点，动点P在线段上以每秒2个单位长的速度由点C向B 运动．设动点P运动时间为t秒．    （1）当t为___________时，四边形是平行四边形． （2）若M为线段上一点，且，当P运动 ______秒时，四边形的周长最小，它的最小值为_______． 2．（2023春·河南商丘·八年级统考期中）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，DE⊥BC于点E，且DE=，AD=18，∠C=60°； （1）BC=________ （2）若动点P从点D出发，速度为2个单位/秒，沿DA向点A运动，同时，动点Q从点B出发，速度为3个单位/秒，沿BC向点C运动，当一个动点到达端点时，另一个动点同时停止运动，设运动的时间为t秒． ①t=_______秒时，四边形PQ