第04讲 解一元二次方程 因式分解法与换元法-【帮课堂】2023-2024学年九年级数学上册同步学与练（人教版）

第04讲 解一元二次方程——因式分解法与换元法 课程标准 学习目标 ①复习巩固因式分解的方法 ②利用因式分解法解一元二次方程 ③整体法或换元法解一元二次方程 1. 复习巩固熟练掌握因式分解的几种方法。 2. 学会利用因式分解解一元二次方程。 3. 学会并掌握整体法或换元法解一元二次方程。 知识点01 因式分解的方法 1. 因式分解的方法： ①提公因式法： ； ②公式法：平方差公式： ； 完全平方公式： ； ③十字相乘法：分解，若且，则 。 题型考点：①对因式分解进行熟练应用。 【即学即练1】 1．把下列各式因式分解： （1）2a2﹣4a； （2）（a2+9）2﹣36a2； （3 ）x2+2x﹣15． 知识点02 利用因式分解法解一元二次方程 1. 因式分解法解一元二次方程的基本步骤： ①将一元二次方程的右边全部移到左边，使其右边为 。 ②对方程的左边进行 ，使其成为两个整式的积的形式。 ③别分令两个整式为 ，得到两个一元一次方程。 ④解这两个一元一次方程，一元一次方程的解合起来就是一元二次方程的解。 题型考点：①根据求根公式确定的值。②利用公式法解一元二次方程。 【即学即练1】 2．一元二次方程（x﹣5）2＝4（x﹣5）的解为（　　） A．x＝5 B．x＝﹣5 C．x1＝5x2＝9 D．x1＝5x2＝1 【即学即练2】 3．方程x2﹣3x﹣18＝0的根是（　　） A．x1＝3，x2＝6 B．x1＝﹣3，x2＝6 C．x1＝3，x2＝﹣6 D．x1＝﹣3，x2＝﹣6 【即学即练3】 4．解方程（3x﹣4）2﹣（4x+1）2＝0． 知识点03 整体法或换元法解一元二次方程 1. 整体法或换元法： 在解一元二次方程时，有时候会把含有未知数的一个式子看作一个整体，然后用一个简单的字母表示，起达到方程简化的目的，在解其方程的方法叫做整体法或换元法。 例题讲解：【例】解方程． 解：设，则原方程可化为． 解得． 当y=1时，即x-1=1，解得x=2； 当y=4时，即x-1=4，解得x=5． 所以原方程的解为x1=2，x2=5． 题型考点：利用整体法或换元法解一元二次方程。 【即学即练1】 5．解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4＝0． 【即学即练2】 6．如果有理数a、b同时满足（a2+b2+3）（a2+b2﹣3）＝16，那么a2+b2的值为（　　） A．±5 B．5 C．﹣5 D．以上答案都不对 题型01 利用因式分解法解一元二次方程 【典例1】 用因式分解法解下列方程． （1）（2x﹣3）2﹣（x﹣2）2＝0； （2）2（t﹣1）2+t＝1． 【典例2】 用因式分解法解一元二次方程： （1）（4x+1）（5x﹣7）＝0； （2）（2x+3）2＝4（2x+3）． 题型02 整体法或换元法解一元二次方程 【典例1】 请你先认真阅读下列材料，再参照例子解答问题： 已知（x+y﹣3）（x+y+4）＝﹣10，求x+y的值； 解：设x+y＝t，则原方程可变形为（t﹣3）（t+4）＝﹣10．即t2+t﹣2＝0 ∴（t+2）（t﹣1）＝0得t1＝﹣2，t2＝1， ∴x+y＝﹣2或x+y＝1． 已知（x2+y2﹣2）（x2+y2﹣3）＝12，求x2+y2的值． 【典例2】 阅读材料： 为了解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4＝0，我们可以将x2﹣1看作一个整体，设x2﹣1＝y，那么原方程可化为y2﹣5y+4＝0①，解得y1＝1，y2＝4． 当y＝1，时，x2﹣1＝1，∴x2＝2．∴x＝； 当y＝4时，x2﹣1＝4，∴x2＝5．∴x＝． 故原方程的解为，＝，＝，＝． 解答问题： （1）上述解题过程，在由原方程得到方程①的过程中，利用 　 　法达到了降次的目的，体现了 　 　的数学思想； （2）请利用以上知识解方程：（x2+x）2﹣5（x2+x）+4＝0； （3）请利用以上知识解方程：x4﹣3x2﹣4＝0． 题型03 解含有绝对值的方程 【典例1】 阅读下面的材料，并完成相应的任务． 材料：解含绝对值的方程：x2﹣5|x|﹣6＝0． 解：分两种情况： （1）当x≥0时，原方程可化为：x2﹣5x﹣6＝0，解得x1＝6，x2＝﹣1（舍去）． （2）当x＜0时，原方程可化为：x2+5x﹣6＝0，解得