2023年九年级中考数学解题技巧（9）旋转聚一起（零散线段问题）

中考数学解题技巧（九）、旋转聚一起（零散线段之间关系） （马铁汉） 有时遇到较难的选择题或填空题，是在特殊几何图形背景下，有零散的几条线段（一般2、3条），要我们寻找它们之间关系时，可以通过三角形的旋转把它们连在一起（或形成三角形）——这就是“旋转聚一起”，构成了新的特殊几何图形（一般是特殊的三角形）。 然后通过特殊几何图形的性质解决问题。近几年，也有零散的三角形，通过旋转组合到一起的情况。 下面通过几个中考真题，作简要介绍。 鉴赏题：1、（2022十堰）16. 【阅读材料】如图 ①，四边形中，，，点，分别在，上，若，则． 分析： 此问题背景比较特殊：AB=AD，∠B+∠D=180°。 要证明三条线段EF、BE、DF之间的大小关系：EF=BE+DF。 BE、DF是分散的，可通过三角形的旋转，将这两条线段组合到同一个三角形中，连在一起，成为一条线段。 如右上图将△ADF绕点A顺时针旋转∠BAD的度数，得到△ABF’。这样△ABF’替换了△ADF，线段BF’替换了线段DF。△ABF’与△ABE组合成△AEF’。可以证明∆AEF≌∆AEF’, 得出结论。 证明： 将△ADF绕点A顺时针旋转∠BAD的度数，得到△ABF’。 有旋转得DF=BF’,AF=AF’∠DAF=∠BAF’ ∵∠DAB=2∠EAF ∴∠DAF+∠BAE=∠EAF ∵∠DAF=∠BAF’ ∴∠BAF’+∠BAE=∠EAF ∴∠EAF’=∠EAF 在△EAF和△EAF’中 AF=AF’ ∠EAF’=∠EAF AE=AE ∴△EAF≌△EAF’（SAS） ∴EF=EF’ ∵EF’=BE+BF’=BE+DF ∴EF=BE+DF. 【解决问题】如图②，在某公园的同一水平面上，四条道路围成四边形．已知，，，，道路，上分别有景点，，且，，若在，之间修一条直路，则路线的长比路线的长少___370______（结果取整数，参考数据：）． 分析： 对照图1的背景条件知，本题已经有CB=CD，∠ABC+∠D=120°+60°=180°两个条件。连接CM、CN，若∠BCD=2∠MCN，则完全符合图1结论的背景条件，可以直接用图1得出的结论,如图3。 解： 如图3，延长AB、DC相交于点H. ∵∠ABC=120°,∠BCD=150°, ∴∠HBC=60°，∠HCB=30° ∴∠H=90° ∵BC=100 ∴HB=50，HC= ∴HN=50+= ∴HC=HN∴∠HCN=45° ∴∠BCN=15° ∵CD=DM=100，∠CDM=60° ∴∆CDM是等边三角形。∴∠DCM=60° ∴∠MCN=150°-60°-15°=75°=∠BCD. 符合图①中条件 ∴MN=DM+BN=100+=50+ 在Rt∆AHD中： ∵HD=100+,∠A=30° ∴AH=(100+)=150+100 AD=200+100 ∴AN=150+100-50=150+50 AM=200+100-100=100+100 ∴MA+AN-MN=100+100+150+50-(50+)=200+100≈370 说明：本题是类比探究题变成了填空题，要读懂阅读材料，深入理解其性质，然后将实际问题转化到基本图形问题中去，找到解决问题的途径。若有必要，可以用图4，写出完整的解题过程。 鉴赏题：2、(2022仙桃)23．（10分）已知CD是△ABC的角平分线，点E，F分别在边AC，BC上，AD＝m，BD＝n，△ADE与△BDF的面积之和为S． （1） 填空：当∠ACB＝90°，DE⊥AC，DF⊥BC时， ①如图1，若∠B＝45°，m＝5，则n＝　 　，S＝　 　； ②如图2，若∠B＝60°，m＝4，则n＝　 　，S＝　 　； （2）如图3，当∠ACB＝∠EDF＝90°时，探究S与m，n的数量关系，并说明理由； （3）如图4，当∠ACB＝60°，∠EDF＝120°，m＝6，n＝4时，请直接写出S的大小． 解：（1） 如图1，△ACB中 ∵∠ACB＝90°，∠B＝45°， ∴∠A=45° ∴CA＝CB， ∵CD平分∠ACB， ∴AD＝DB＝5， 又∵DE⊥AC，DF⊥BC，∠A＝∠B＝45°， ∴△ADE，△BDF都是等腰直角三角形。 ∴BF＝DF＝5，AE＝DE＝5 将△DEA绕点D顺时针旋转90°，与△DFC重合.△ADE与△BDF合成一个△DBC了. （旋转聚一起） ∴S＝×BC×DF=×(5+5)×5＝25， 故答案为：5，25； ②如图2， 在Rt△ADE中，AD＝4，∠A＝90°﹣∠B＝30°， ∴DE＝AD＝2，AE＝DE＝6， ∵DE⊥AC，DF⊥BC，CD平分∠ACB， ∴DE＝DF＝2， ∴BF＝2，BD＝2BF＝4， ∴n＝4， 这样△ADE