数列求和 微专题课件-2024届高三数学一轮复习

第四章 数列求和微专题 博学 笃志 雅行 厚德 2.等比数列前n项和公式(错位相减法) 1.等差数列前n项和公式(倒序相加法) 一、公式法 3.两类特殊数列的前n项和(二次幂和、三次幂和) 博学 笃志 雅行 厚德 例1 数列{an}满足an =3n-20，求数列{an}的前n项和Sn的最小值. 典例分析 解:令a=3n-20≤0，则n≤ ∴当n=6时，数列{an}的前n项和Sn最小， 且S6= 故数列{an}的前n项和Sn的最小值为-57. 博学 笃志 雅行 厚德 通项公式为分式，可用待定系数法对通项公式拆项. 二、裂项相消法 ➱ ➱ 博学 笃志 雅行 厚德 典例分析 例2 已知数列 是公比为4的等比数列，且满足a2, a4, a7成等比数列，求数列 的前n项和Tn. 解:数列{ }是公比为4的等比数列,∴ ,即an-an-1=2 故数列{an}是公差d=2的等差数列. 由于a2，a4，a7成等比数列，∴a42=a2a7，即(a1+3d)²=(a1+d)(a1+6d) ∴(a1+6)²=(a1+2)(a1+12)，∴a1=6 ∴an=a1+(n-1)d=2n+4 ∴ ∴Tn= 博学 笃志 雅行 厚德 (1)使用条件: ①通项公式是形如an·bn的形式, ②数列{an}和{bn}中一个是等差数列, 一个是等比数列; (2)所乘系数: 在等式两边同乘的是等比数列的公比; (3)书写格式: 两个等式中次数一样的项对齐; (4)差的特点: 相减后的差共有n+1项, 去掉前后两项, 中间的n-1项一定是等比数列. 三、错位相减法 博学 笃志 雅行 厚德 典例分析 例3 已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1 =2，Sn = an+1-2，求数列{(2n+1)an}的前n项和Tn. 解:当n=2时，由Sn=an+1-2，可得Sn-1=an-2，两式相减，得an-1=2an 又当n=1时，a1=S1=a2-2,a2=a1+2=4,∴ ∴数列{an}是以2为首项，2为公比的等比数列 ∴an=2·2n-1=2n，n∈N*,∴(2n+1)·an=(2n+1)·2n,于是于是Tn=3x2+5x2²+7x2³+…+(2n+1)·2n 2Tn=3x2²+5x2³+…+(2n-1)·2n+(2n+1)·2n+1 两式相减，得 -Tn =6 +2x(22 +23 +…+2n)-(2n+1)·2n+1 =6+2x -(2n+1)·2n+1 ∴Tn=2+(2n-1)·2n+1. 博学 笃志 雅行 厚德 (1)一般情况下形如cn＝an±bn ； (2)数列{an}与{bn}是等差数列, 或等比数列, 或是其他已知求和方法的数列； (3)求数列{cn}的前n项和，分别利用已知的求和方法； 如等差数列和等比数列前n项和公式求和即可. 四、分组求和法 博学 笃志 雅行 厚德 典例分析 例4 已知数列{an}满足an =3an-1+2(n≥2)，a1 =1，若bn =3an+2n-1，求数列{bn}的前n项和Tn. 解:由an=3an-1+2 (n≥2)，可得an+1=3(an-1+1) (n≥2)，即 (n≥2) 故{an+1}是首项为2，公比为3的等比数列∴an+1=2·3n-1，即an=2·3n-1-1，n∈N* ∴bn=3an+2n-1=2·3n+2n-4 ∴Tn=(6+18+...+2·3")+(-2+0+...+2n-4) = =3n+1-3+n2-3n 博学 笃志 雅行 厚德 课后作业： 2.求数列{(2n-1)·2n}的前n项和Tn 3.已知数列{an}满足 (1)求数列{an}的通项公式; (2)求数列{an+2n-1}的前n项和Sn 博学 笃志 雅行 厚德 (1)倒序相加法是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列(反序)，再把它与原数列相加，就可以得到n个(a1＋an). (2)如果一个数列{an}，首末两端等“距离”的两项的和相等，那么求其和可以用倒序相加法. 五、倒序相加法 博学 笃志 雅行 厚德 典例分析 例5 已知函