第二章 直线和圆的方程综合大题（讲+练）-【巅峰课堂】2023年新高二数学暑假预习精讲精练(人教A版2019选择性必修第一册)

第二章 直线和圆的方程综合大题 目录 考点一：弦长型 1 考点二：弦长最值型 2 考点三：面积型 3 考点四：面积最值型 5 考点五：切线面积型 6 考点六：五个方程型：直线定点 8 考点七：圆过定点型 10 考点八：轨迹型 11 考点九：定值型 12 1．已知圆过点，，且圆心在直线上． (1)求圆的标准方程； (2)若直线过点，被圆所截得的弦长为2，求直线的方程． 【答案】(1)；(2)或. 【分析】（1）易知圆的圆心在直线上，结合圆心在直线上，可求圆心坐标，根据两点间的距离公式求出半径即可得圆的标准方程； （2）先考虑斜率不存在的情况，由题中条件，直接得直线方程；再考虑斜率存在的情况，设的方程为，根据圆的弦长的几何表示，得到圆心到直线的距离，再根据点到直线距离公式列出方程求解，即可得出斜率，求出对应直线方程. 【详解】（1）由圆过点，，可得圆的圆心在直线上， 又圆心在直线上，令可得， 所以圆的圆心为,半径为， 所以圆的标准方程为. （2）当l斜率不存在时，l的方程为， 易知此时被圆C截得的弦长为2，符合题意，所以； 当l斜率存在时，设l的方程为，则． 又直线l被圆C所截得的弦长为2，所以，则， 所以，解得，所以直线l的方程为． 综上：l的方程为或. 2.已知圆过两点，且圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)过点的直线交圆于两点，且，求直线的方程. 【答案】(1)(2)或 【分析】（1）的中垂线过圆心，又圆心在直线上，联立方程组可求得圆心，再由两点间距离公式求得半径，可得圆的方程； （2）分直线斜率存在和不存在两种类型讨论，由垂径定理求解直线方程即可. 【详解】（1）根据题意，因为圆过两点，，设的中点为，则， 因为，所以的中垂线方程为，即， 又因为圆心在直线上，联立解得所以圆心， 半径， 故圆的方程为． （2）由题意得，． 当直线的斜率不存在时，即直线的方程为，此时，符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 圆心到直线的距离为，则，解得， 所以直线的方程为，即．综上，直线的方程为或． 1.已知圆，直线. (1)证明：直线和圆恒有两个交点； (2)若直线和圆交于两点，求的最小值及此时直线的方程. 【答案】(1)证明见解析(2)最小值为，此时直线方程为 【分析】（1）先求直线所过定点，然后判断定点在圆内即可得证； （2）根据直线垂直于时，有最小值可解. 【详解】（1）直线，即， 联立解得所以不论取何值，直线必过定点. 圆，圆心坐标为，半径， 因为，所以点在圆内部， 则直线与圆恒有两个交点. （2）直线经过圆内定点，圆心， 记圆心到直线的距离为d. 因为，所以当d最大时，取得最小值， 所以当直线时，被圆截得的弦最短， 此时， 因为，所以直线的斜率为，又直线过点， 所以当取得最小值时，直线的方程为，即， 综上：最小值为，此时直线方程为.    2.已知①圆心C在直线上；②圆的半径为2；③圆过点，在这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分） (1)圆C过点且圆心在x轴上，且满足条件____________，求圆C的方程； (2)在（1）的条件下，直线：与圆C交于P，Q两点，求弦长的最小值及相应的k值． 【答案】(1)(2)， 【分析】(1)选择条件①或②或③，求得圆心和半径，由此求得圆的方程； (2)首先求得直线过定点，根据求得最短弦长以及此时的值. 【详解】（1）若选①， 由题意知，圆心是方程组的解，解得，所以，        设半径为r，则．                                 则圆的方程为：．                             若选②， 设圆心，由题意知，所以．所以圆心，半径为2，                                        则圆的方程为：．                                       若选③， 设圆心，由题意知，即有，解得，                           所以圆心，半径为2，                                  则圆的方程为：． （2）由（1）知圆的方程为：，圆心，半径， 直线l过定点，显然点D在圆C内，要使弦长最短，则， ，      ．            又， ，所以弦长最小值为． 1.已知直线与圆相交于（点在点的右侧）两点. （1）求交点的坐标； （2）若点，求的面积. 【答案】（1），（2） 【分析】(1)直接联立直线与圆的方程，即可求出交点坐标； (2)由两点间距离公式求出，再由点到直线的距离公式求出点到直线的距离，即可求解. 【详解】