第一章 集合与常用逻辑用语 章末梳理(学案)-【成才之路】2022-2023学年高中新教材数学必修第一册同步学习指导(人教A版2019)

+,-&./+01"234 章末梳理 知识结构·理脉络 要点梳理·晰精华 　 　 本章我们学习了集合的有关概念、关系和 运算，还学习了充分条件、必要条件、充要条件， 全称量词、存在量词、全称量词命题与存在量词 命题及它们的否定．这些知识在后续学习中会 得到大量应用，是进一步学习的重要基础． 为了有效使用集合语言表述数学的研究对 象，首先应掌握集合语言的表述方式．为此，我 们先学习了集合的含义，明确了集合中元素的 确定性、无序性和互异性等特征；再学习了列举 法、描述法等集合的表示法，其中描述法利用了 研究对象的某种特征，需要先理解研究对象的 性质；类比数与数的关系，我们研究了集合之间 的包含关系与相等关系，这些关系是由元素与 集合的关系决定的，其中集合的相等关系很重 要；类比数的运算，我们学习了集合的交、并、补 运算，通过这些运算可以得到与原有集合紧密 关联的集合，由此可以表示研究对象的某些关 系，从中我们可以体会到，数学中的运算并不局 限于数的运算，这对提升我们的数学运算素养是 很有意义的．在学习中，要注意“                  集合的含义与表 !!"# 　 ０３０ !"#$%&'() ＲＪＡ * 示—集合的关系—集合的运算”这个研究路径． 常用逻辑用语是数学语言的重要组成部 分，是逻辑思维的基本语言，也是数学表达和交 流的工具．结合初中学过的平面几何和代数知 识，我们学习了常用逻辑用语，发现初中学过的 数学定义、定理、命题都可以用常用逻辑用语表 达，利用常用逻辑用语表述数学内容、进行推理 论证，可以大大提升表述的逻辑性和准确性，从 而提升我们的逻辑推理素养． 本章的学习不仅要为后续学习做好知识技 能的准备，更重要的是要为整个高中数学学习 做好心理准备，初步形成适合高中数学学习的 方式方法，使我们能更好地适应高中数学学习． １．集合中的元素具有确定性、互异性和无 序性，你能结合例子说明这些特性吗？ 例如，确定性：２∈Ｑ，但槡２Ｑ； 互异性：给定集合｛ｘ，ｘ２｝，则ｘ≠ｘ２，即ｘ≠ ０，１； 无序性：｛１，２，３｝＝｛３，２，１｝． ２．你能用集合表示平面内线段ＡＢ的垂直 平分线吗？结合集合的描述法谈谈你的体会． 平面内线段ＡＢ的垂直平分线可以表示为 ｛Ｐ ｜ ｜ＰＡ ｜ ＝ ｜ＰＢ ｜｝． ３．用联系的观点看问题，可以使我们更深 刻地理解数学知识．本章中，我们类比数与数的 关系和运算研究了集合与集合的关系和运算． 你认为这样的类比对发现和提出集合的问题有 什么意义？你能类比数的减法运算给出集合的 减法运算吗？ 集合的减法运算：瓓ＵＡ ＝ ｛ｘ ｜ ｘ∈Ｕ，且ｘ Ａ｝，或Ａ － Ｂ ＝｛ｘ ｜ ｘ∈Ａ且ｘＢ｝． ４．对给定的ｐ和ｑ，如何判定ｐ是ｑ的充分 不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不 充分也不必要条件？你能举例说明吗？ 熟记判断充分、必要条件的２种方法 方法 解读 适合题型 定 义 法 第一步，分清条件和结 论：分清谁是条件，谁是 结论；第二步，找推式：判 断“ｐｑ”及“ｑｐ”的真 假；第三步，下结论：根据 推式及定义下结论 定义法是判断充 分、必要条件最根 本、最适用的方法 集 合 法 记条件ｐ，ｑ对应的集合分 别是Ａ，Ｂ．若ＡＢ，则ｐ 是ｑ的充分不必要条件； 若ＡＢ，则ｐ是ｑ的必要 不充分条件；若Ａ ＝ Ｂ，则 ｐ是ｑ的充要条件 适用于“当所要判 断的命题与方程的 根、不等式的解集 以及集合有关，或 所描述的对象可以 用集合表示”的 情况 　 　 ５．如何否定含有一个量词的全称量词命题 和存在量词命题？你能举例说明吗？ 否定含有一个量词的命题分两步： （１）改写量词：找到命题所含的量词，没有量 词的要结合命题的含义加上量词，再改变量词． （２）否定结论：对原命题的结论进行否定                                                ． 素养突破·提技能 数学抽象 核心素养 　 　 考查方向　 集合的基本概念 　 　 典例１ （１）集合Ｍ ＝｛ｘ ｜ａｘ２ －３ｘ －２ ＝０， ａ∈Ｒ｝中只有一个元素，则实数ａ的值是　 　 　 　 ． （２）已知集合Ａ ＝｛ｍ ＋ ２，２ｍ２ ＋ ｍ｝，若３∈ Ａ，则ｍ的值为　 　 　 　 ． ［归纳提升］　 解决集合的概念问题的关 注点 （１）研究一个集合，首先要看集合中的代表 元素，然后再看元素的限制条件．当集合用描述 法表示时，注意弄清元素表示的意义是什么． （２）对于含有字母的集合，在求出字母的值 后，要注意检验集合的元素是否满足互异性． 数学运算 核心素养 　 　 考查方向