第五章 三角函数 章末梳理(学案)-【成才之路】2022-2023学年高中新教材数学必修第一册同步学习指导(人教A版2019)

!"#$%&'() ＲＪＡ * 章末梳理 知识结构·理脉络 三角 函数— —角的概念的推广— —正角（逆时针方向旋转）、负角（顺时针方向旋转）和零角 —象限角与轴线角 —终边相同的角—周期现象 —弧度制— １弧度的角：在单位圆中， 单位长度的弧所对的圆心 角为１弧度的角 — １ ｒａｄ ＝ １８０( )π °， １° ＝ π１８０ｒａｄ —公式：ｌ ＝ ｜α ｜·ｒ，Ｓ ＝ １２ ｌｒ —任意角的三角函数— —定义：ｓｉｎ α ＝ ｙｒ ，ｃｏｓ α ＝ ｘ ｒ ，ｔａｎ α ＝ ｙ ｘ —同角三角函数的基本关系式— —平方关系：ｓｉｎ２α ＋ ｃｏｓ２α ＝ １ —商数关系：ｔａｎ α ＝ ｓｉｎ αｃｏｓ α —诱导公式口诀：奇变偶不变，符号看象限 —三角函数的图象和性质— —ｙ ＝ ｓｉｎ ｘ— —ｙ ＝ ｃｏｓ ｘ— —ｙ ＝ ｔａｎ ｘ— — —周期性 —奇偶性 —单调性 —最大（小）值或值域 —三角恒等变换— —两角和与差的公式 — —ｓｉｎ（α ± β）＝ ｓｉｎ αｃｏｓ β ± ｃｏｓ αｓｉｎ β —ｃｏｓ（α ± β）＝ ｃｏｓ αｃｏｓ βｓｉｎ αｓｉｎ β —ｔａｎ（α ± β）＝ ｔａｎ α ± ｔａｎ β１ｔａｎ αｔａｎ β — 辅助角公式：ａｓｉｎ ｘ ＋ ｂｃｏｓ ｘ ＝ ａ２ ＋ ｂ槡 ２ ｓｉｎ（ｘ ＋ φ） （其中ｃｏｓ φ ＝ ａ ａ２ ＋ ｂ槡 ２ ，ｓｉｎ φ ＝ ｂ ａ２ ＋ ｂ槡 ２ ） —倍角公式— —二倍角公式— —ｓｉｎ ２α ＝ ２ｓｉｎ αｃｏｓ α —ｃｏｓ ２α ＝ ｃｏｓ２α － ｓｉｎ２α ＝ ２ｃｏｓ２α － １ ＝ １ － ２ｓｉｎ２α —ｔａｎ ２α ＝ ２ｔａｎ α１ － ｔａｎ２α —降幂公式：ｃｏｓ２α ＝ １ ＋ ｃｏｓ ２α２ ，ｓｉｎ ２α ＝ １ － ｃｏｓ ２α２ —函数ｙ ＝ Ａｓｉｎ（ωｘ ＋ φ），Ａ ＞ ０，ω ＞ ０—相关概念：Ａ是振幅，周期Ｔ ＝ ２πω，频率ｆ ＝ １ Ｔ，φ为初相，ωｘ ＋ φ是相位 !!"# 　 １８７ +,-&./+01"234 要点梳理·晰精华 　 　 １．弧度制建立的意义 角的概念推广后，在弧度制下，角的集合与 实数集Ｒ之间建立起一一对应的关系：每一个 角都有唯一的一个实数（即这个角的弧度数）与 它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个 角（即弧度数等于这个实数的角）与它对应． 　 　 　 　 任意角的集合　 实数集Ｒ ２．任意角的三角函数的定义 设直角坐标系中任意角α终边上异于原点 的任一点的坐标为（ｘ，ｙ），它与原点的距离为ｒ ＝ ｘ２ ＋ ｙ槡 ２（ｒ ＞ ０）． 三角函数定义 定义域 ｓｉｎ α ｙｒ Ｒ ｃｏｓ α ｘｒ Ｒ ｔａｎ α ｙ {ｘ α α≠ π２ ＋ ｋπ，ｋ∈ }Ｚ 　 　 三角函数符号记忆口诀：“一全正、二正弦、 三正切、四余弦．” ３．正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和 性质 　 　 函数 性质　 　 ｙ ＝ ｓｉｎ ｘ ｙ ＝ ｃｏｓ ｘ ｙ ＝ ｔａｎ ｘ 定义域 Ｒ { Ｒ ｘ ｘ≠ｋπ ＋ π ２ ，ｋ∈ }Ｚ 图象 值域 ［－ １，１］ ［－ １，１］ Ｒ 对称性 对称轴：ｘ ＝ ｋπ ＋ π２ （ｋ∈Ｚ）； 对称中心： （ｋπ，０）（ｋ∈Ｚ） 对称轴：ｘ ＝ ｋπ （ｋ∈Ｚ）； 对称中心 ( ： ｋπ ＋ π２ ， )０ （ｋ∈Ｚ） 对称中心 ( ： ｋπ ２ ， )０ （ｋ∈Ｚ） 周期 ２π ２π π 单调性 单调增区间 [ ： ２ｋπ － π２ ，２ｋπ ＋ π ]２ （ｋ∈Ｚ）； 单调减区间 [ ： ２ｋπ ＋ π２ ，２ｋπ ＋ ３π ]２ （ｋ∈Ｚ） 单调增区间： ［２ｋπ － π，２ｋπ］ （ｋ∈Ｚ）； 单调减区间： ［２ｋπ，２ｋπ ＋ π］ （ｋ∈Ｚ） 单调增区间 ( ： ｋπ － π２ ，ｋπ ＋ π )２ （ｋ∈Ｚ） 奇偶性 奇 偶 奇 　 　 ４．和角公式与差角公式 Ｓ（α ＋ β），Ｃ（α ＋ β），Ｔ（α ＋ β），Ｓ（α － β），Ｃ（α － β），Ｔ（α － β） 这６个和与差的三角函数公式之间具有紧密的 联系（有时可以互相转化），这种联系可用框图 形式表示，如图所示． ５．由函数ｙ ＝ ｓｉｎ ｘ的图象变换得到ｙ ＝ Ａｓｉｎ（ωｘ ＋ φ）（Ａ ＞ ０，ω ＞ ０）图象的步骤 上述两种变换的区别：先相位变换再周期 变换（伸缩变换），平移的量是｜ φ ｜个单位；而先 周期变换（伸缩变换）再相位变换，平移的量是 ｜φ ｜ ω （ω ＞ ０）个单位．原因在于相位变换和周期 变换都是针对ｘ而言的                               