第三章 函数的概念与性质 章末梳理(学案)-【成才之路】2022-2023学年高中新教材数学必修第一册同步学习指导(人教A版2019)

+,-&./+01"234 所示． 横轴为投资时间，纵轴为每天的回报，根据以 上信息，若使回报最多，下列说法错误的是 （Ｄ ） Ａ．投资３天以内（含３天），采用方案一 Ｂ．投资４天，不采用方案三 Ｃ．投资６天，采用方案一 Ｄ．投资１２天，采用方案二 ３．用长度为２４ ｍ的材料围成一矩形场地，如果 在中间加两道隔墙，要使矩形面积最大，则隔 墙的长度应为 （Ａ ） Ａ． ３ ｍ　 　 Ｂ． ４ ｍ　 　 Ｃ． ６ ｍ　 　 Ｄ． １２ ｍ ４．（２０２１·安徽合肥高一联考）某种鲜花的进价 为５元／支，据市场调查，当销售价格（ｘ元／ 支）在ｘ∈［５，１５］时，每天售出该鲜花的支数 ｐ（ｘ）＝ ５００ｘ － ４，若想每天获得的利润最多，则销 售价格应定为 （Ｄ ） Ａ． ９元／支 Ｂ． １１元／支 Ｃ． １３元／支 Ｄ． １５元／支 请同学们认真完成练案［２４］（Ｂ本                        ） 章末梳理 知识结构·理脉络 函数的概念与性质— —函数的概念— —自变量—定义域 —对应关系 —函数值—值域 —函数的表示方法— —列表法 —图象法 —解析式法 —函数的基本性质——单调性与最大（小）值—奇偶性 —幂函数——图象——性质—— 五种常见幂函数： ｙ ＝ ｘ，ｙ ＝ ｘ２，ｙ ＝ ｘ３， ｙ ＝ ｘ １ ２，ｙ ＝ ｘ －１ —函数的应用（一）— —一次函数模型— —二次函数模型— —幂函数模型— — 分段 函数 模型 要点梳理·晰精华 　 　 １．函数的传统定义与近代定义辨析 初中所学习的函数传统定义与高中的近代 定义之间的异同点如下： ［不同点］　 传统定义从变量变化的角度， 刻画两个变量之间的对应关系；而近代定义，则 从集合间的对应关系来刻画两个非空数集间的 对应关系． ［相同点］　       两种对应关系满足的条件是相 !!"# 　 ０８４ !"#$%&'() ＲＪＡ * 同的，“变量ｘ的每一个值”及“集合Ａ中的每一 个数”，都有唯一一个“ｙ值”与之对应． ２．函数三种表示方法的优缺点 三种表示法的特点（优缺点）比较如下： 解 析 法 优点 （１）简明、全面地概括了变量间的关系 （２）可以通过解析式求定义域内的任意自 变量对应的函数值 缺点 不够形象、直观，且有些实际问题的函数 关系很难用解析式表示或根本不存在解 析式 图 象 法 优点 （１）直观、形象地反映出函数关系变化的 趋势 （２）便于通过图象研究函数的性质 缺点只能近似地得到自变量对应的函数值，有时误差较大 列 表 法 优点查询方便，不需计算便可直接得出自变量对应的函数值 缺点（１）只能表示有限个数的函数关系（２）数较多时使用不方便 　 　 (并不是所有的函数都能用解析式表示事 实上，图象法也不适用于所有函数，如Ｄ（ｘ）＝ ０，ｘ∈Ｑ， １，ｘ∈瓓ＲＱ{ ．列表法虽在理论上适用于所有函 数，但对于自变量有无数个取值的情况，列表法 )只能表示函数的一个概况或片段． ３．函数的定义域和值域 （１）求函数定义域的类型和相应方法 ①若已知函数的解析式，则函数的定义域 是使解析式有意义的自变量的取值范围； ②若已知ｆ（ｘ）的定义域为［ａ，ｂ］，则 ｆ［ｇ（ｘ）］的定义域为不等式ａ≤ｇ（ｘ）≤ｂ的解 集；反之，已知ｆ［ｇ（ｘ）］的定义域为［ａ，ｂ］，则 ｆ（ｘ）的定义域为函数ｙ ＝ ｇ（ｘ）（ｘ∈［ａ，ｂ］）的 值域． （２）常见函数的值域 ①一次函数ｙ ＝ ｋｘ ＋ ｂ（ｋ≠０）的值域为Ｒ； ②二次函数ｙ ＝ ａｘ２ ＋ ｂｘ ＋ ｃ（ａ≠０）：当ａ ＞ ０ 时，值域为４ａｃ － ｂ ２ ４ａ ，＋[ )∞ ，当ａ ＜ ０时，值域 为－ ∞，４ａｃ － ｂ ２ ４( ]ａ ； ③反比例函数ｙ ＝ ｋｘ（ｋ≠０）的值域为｛ｙ∈ Ｒ ｜ ｙ≠０｝． ４．函数单调性和奇偶性的重要结论 （１）当ｆ（ｘ），ｇ（ｘ）同为增（减）函数时，ｆ（ｘ） ＋ ｇ（ｘ）则为增（减）函数． （２）奇函数在对称的两个区间上有相同的 单调性，偶函数在对称的两个区间上有相反的 单调性． （３）ｆ（ｘ）为奇函数ｆ（ｘ）的图象关于原点 对称；ｆ（ｘ）为偶函数 ｆ（ｘ）的图象关于ｙ轴 对称． （４）偶函数的和、差、积、商是偶函数，奇函 数的和、差是奇函数，积、商是偶函数，奇函数与 偶函数的积、商是奇函数． （５）定义在（－ ∞，＋ ∞）上的奇函数的图 象必过原点即有ｆ（０）＝ ０．存在既是奇函数，又 是偶函数的函数ｆ（ｘ）＝ ０． （６）ｆ（ｘ）＋ ｆ（－ ｘ）＝ ０ｆ（ｘ）为奇函数； ｆ（ｘ）－ ｆ（－ ｘ）＝ ０ｆ（ｘ）为偶函数                      