5.5.2 简单的三角恒等变换(学案)-【成才之路】2022-2023学年高中新教材数学必修第一册同步学习指导(人教A版2019)

!"#$%&'() ＲＪＡ * 课堂检测·固双基 １．已知α为第三象限角，且ｃｏｓ α ＝ －槡５５ ，则 ｔａｎ ２α的值为 （Ａ ） 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　Ａ． － ４３ Ｂ． ４ ３ Ｃ． － ３ ４ Ｄ． － ２ ２．下列各式中，值为１２的是 （Ｄ ） Ａ． ｓｉｎ １５°ｃｏｓ １５° Ｂ． ２ｃｏｓ２ π１２ － １ Ｃ． １ ＋ ｃｏｓ ３０°槡２ Ｄ． ｔａｎ ２２． ５°１ － ｔａｎ２２２． ５° ３．化简ｔａｎ １４° １ － ｔａｎ２１４° ·ｃｏｓ ２８°的结果为 （Ａ ） Ａ． ｓｉｎ ２８°２ Ｂ． ｓｉｎ ２８° Ｃ． ２ｓｉｎ ２８° Ｄ． ｓｉｎ １４°ｃｏｓ ２８° ４．化简槡１ ＋ ｓｉｎ １００° －槡１ － ｓｉｎ １００°的结果为 （Ｄ ） Ａ． － ２ｓｉｎ ４０° Ｂ． ２ｃｏｓ ４０° Ｃ． － ２ｓｉｎ ４０° Ｄ． ２ｓｉｎ ４０° ５．已知ｓｉｎ ２α ＝ １４，α∈ π ４， π( )２ ，则ｃｏｓ α － ｓｉｎ α 的值是 （Ａ ） Ａ． －槡３２ Ｂ． ３ ４ Ｃ． 槡３ ２ Ｄ． － 槡３ ４ 请同学们认真完成练案［５３］（Ａ本                       ） ５． ５． ２　 简单的三角恒等变换 学习目标 核心素养 能通过二倍角的变形公式推导出半角的正弦、余弦、正切公式 逻辑推理 了解半角公式的结构形式，并能利用半角公式解决简单的求值问题 数学运算 进一步掌握两角和与差的三角函数公式，二倍角公式，半角公式，并能灵 活利用公式解决求值、化简、证明问题 逻辑推理　 数学运算 必备知识·探新知 知识点半角公式 　 　 ｃｏｓ α２ ＝ ± １ ＋ ｃｏｓ α槡２ （Ｃ α２）， ｓｉｎ α２ ＝ ± １ － ｃｏｓ α槡２ （Ｓ α２）， ｔａｎ α２ ＝ ± １ － ｃｏｓ α １ ＋ ｃｏｓ槡 α（Ｔ α２）． 想一想：（１）半角公式是由以前学习过的哪 些公式推导来的？如何推导的？ （２）半角公式中的正负号能否去掉？该如 何选择？ （３）半角公式对α∈Ｒ都成立吗？ 　 　 练一练： １．下列说法中正确的个数是 （Ａ ） ①ｓｉｎ α２ ＝ ± １ ＋ ｃｏｓ α槡２ ． ②ｃｏｓ ２０° ＝ ± １ ＋ ｃｏｓ ４０°槡２ ． ③ｔａｎ α２ ＝ ｓｉｎ α １ － ｃｏｓ α ＝ １ ＋ ｃｏｓ αｓｉｎ α ． ④ｓｉｎ ４α ＋槡３ｃｏｓ ４α ＝ ２ｓｉｎ ４α ＋ π( )３ ． Ａ． １　 　 　 Ｂ． ２　 　 　 Ｃ． ３　 　 　 Ｄ． ４ ２．已知１８０° ＜ α ＜ ３６０°，由ｃｏｓ α２的值等于 （Ｃ ） Ａ． － １ － ｃｏｓ α槡２ Ｂ． １ － ｃｏｓ α槡                         ２ !!"# 　 １７５ +,-&./+01"234 Ｃ． － １ ＋ ｃｏｓ α槡２ Ｄ． １ ＋ ｃｏｓ α槡２ ３．已知ｃｏｓ α ＝ ４５，α∈ ３π ２ ，２( )π ，则ｓｉｎ α２ 等于 （Ｂ ） Ａ． －槡１０１０ Ｂ．槡 １０ １０ Ｃ． ３槡３ １０ Ｄ． － ３      ５ 关键能力·攻重难 题型探究　 题型一 应用半角公式求值 　 　 典例１ 已知ｓｉｎ θ ＝ ４５，且 ５π ２ ＜ θ ＜ ３π， 求ｓｉｎ θ２，ｃｏｓ θ ２，ｔａｎ θ ２ ． ［分析］　 已知条件中的角θ与所求角中的 θ ２成二倍关系，从而选择半角公式求值． 作答：　 　 ［归纳提升］　 已知θ的某个三角函数值， 求θ２的三角函数值的步骤是：（１）利用同角三角 函数基本关系式求得θ的其他三角函数值；（２） 代入半角公式计算即可． 【对点练习】? 设π ＜ θ ＜ ２π，ｃｏｓ θ２ ＝ － ３５，求： （１）ｓｉｎ θ的值；（２）ｃｏｓ θ的值；（３）ｓｉｎ２ θ４ 的值． 题型二 三角恒等式的化简与证明 　 　 典例２ 化简： １ － ｓｉｎ α － ｃｏｓ( )α ｓｉｎ α２ ＋ ｃｏｓ α( )２ ２ － ２ｃｏｓ槡 α （－ π ＜ α ＜ ０）． 作答：　 　 ［归纳提升］　 化简问题中的“三变” （１）变角：三角变换时通常先寻找式子中各 角之间的联系，通过拆、凑等手段消除角之间的 差异，合理选择联系它们的公式． （２）变名：观察三角函数种类的差异，尽量 统一函数的名称，如统一为弦或统一为切． （３）变式：观察式子的结构形式的差异，选 择适当的变形途径，如升幂、降幂、配方、开 方等． 【对点练习】? 求证： ｃｏｓ ２α １ ｔａｎ α２ － ｔａｎ α２ ＝ １４ ｓ