5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式(学案)-【成才之路】2022-2023学年高中新教材数学必修第一册同步学习指导(人教A版2019)

!"#$%&'() ＲＪＡ * ５． ５　 三角恒等变换 ５． ５． １　 两角和与差的正弦、余弦与正切公式 学习目标 核心素养 能从教材探究思考中找出两角和与差的正弦、余弦和正切公式，二倍角公式 逻辑推理 准确应用两角和与差的正弦、余弦和正切公式，二倍角公式进行三角变换 数学运算 能用公式求值，求角，化简 数学运算 能用公式证明三角恒等式 逻辑推理 第１课时　 两角差的余弦公式 必备知识·探新知 知识点两角差的余弦公式 　 　 公式：ｃｏｓ（α － β）＝ ｃｏｓ αｃｏｓ β ＋ ｓｉｎ αｓｉｎ β． （１）简记符号：Ｃ（α － β） （２）适用条件：公式中的角α，β 都是 任意角． 想一想：（１）公式写成ｃｏｓ（α － β）＝ ｃｏｓ α ＋ ｓｉｎ β或ｃｏｓ（α － β）＝ ｃｏｓ αｃｏｓ β － ｓｉｎ αｓｉｎ β可 以吗？ （２）公式的结构特征是怎样的？ （３）公式中的角α，β可以为几个角的组 合吗？ 　 　 练一练： 　 　 １．下列说法正确的个数是 （Ｂ ） ①对于任意角α，β，都有ｃｏｓ（α － β）＝ ｃｏｓ α － ｃｏｓ β． ②对于任意角α，β，都有ｃｏｓ（α － β）≠ｃｏｓ α － ｃｏｓ β． ③存在角α，β，使得ｃｏｓ（α － β）＝ ｃｏｓ αｃｏｓ β － ｓｉｎ αｓｉｎ β． ④当α，β为锐角时，必有ｃｏｓ（α － β）＞ ｃｏｓ αｃｏｓ β． Ａ． １　 　 　 Ｂ． ２　 　 　 Ｃ． ３　 　 　 Ｄ． ４ 　 　 ２． ｃｏｓ（３０° － ４５°）等于 （Ｄ ） Ａ．槡２２ Ｂ．槡 ３ ２ Ｃ．槡２ ＋槡３４ Ｄ．槡 ２ ＋槡６ ４ 　 　 ３． ｃｏｓ ４５°ｃｏｓ １５° ＋ ｓｉｎ ４５°ｓｉｎ １５° ＝ （Ｂ ） Ａ． １２ Ｂ． 槡３ ２ Ｃ． 槡２ ２ Ｄ． 槡３                           ３ 关键能力·攻重难 题型探究　 题型一 给角求值 　 　 典例１ （１）求值：ｃｏｓ １５° ＝ 　 　 　 ； （２）求值：ｓｉｎ ７°ｃｏｓ ２３° ＋ ｓｉｎ ８３°ｃｏｓ ６７° ＝ 　 　 　 ； （３）计算：ｃｏｓ（α －３５°）ｃｏｓ（２５° ＋ α）＋ ｓｉｎ（α － ３５°）ｓｉｎ（２５° ＋ α）＝ 　 　 　 ． ［分析］　 尝试逆用公式求解，非特殊角转 化为特殊角的差，然后正用Ｃ（α － β）进行求值         ． !!"# 　 １６５ +,-&./+01"234 作答：　 　 ［归纳提升］　 运用两角差的余弦公式求值 的关注点 （１）运用两角差的余弦公式解决问题要深 刻理解公式的特征，切忌死记． （２）在逆用公式解题时，还要善于将特殊的 值变形为某特殊角的三角函数值． 【对点练习】? 求下列各式的值． （１）ｃｏｓ ４０°ｃｏｓ ２０° － ｓｉｎ ４０°ｓｉｎ ２０°； （２）ｃｏｓ ７３ πｃｏｓ １１ ６ π ＋ ｓｉｎ ２ ３ πｓｉｎ ５ ６ π． 题型二 给值求值 　 　 典例２ （１）已知ｓｉｎ α ＝ － ４５，ｓｉｎ β ＝ ５ １３，且１８０° ＜ α ＜ ２７０°，９０° ＜ β ＜ １８０°，则ｃｏｓ（α － β）＝ 　 　 　 　 ； （２）已知ｓｉ (ｎ α ＋ π )４ ＝ ４ ５，且 π ４ ＜ α ＜ ３π ４ ， 求ｃｏｓ α的值． ［分析］　 （１）求出ｃｏｓ α，ｃｏｓ β，利用公式进 行求解； （２）利用ｃｏｓ α ＝ ｃｏ (ｓ α ＋ π４ － π )４ 进行 凑角． 作答：　 　 ［归纳提升］　 １．解决三角函数的给值求值 问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示． ２．常见的配角技巧：２α ＝ （α ＋ β）＋ （α － β），α ＝（α ＋ β）－ β，β ＝ α ＋ β２ － α － β ２ ，α ＝ α ＋ β ２ ＋ α － β２ ， α － β ２ (＝ α ＋ β )２ (－ α ２ ＋ )β 等． 【对点练习】? 已知ｓｉｎ α ＝ ４５，α (∈ π ２， )π ，ｃｏｓ β ＝ － ５１３，β是第三象限角，求ｃｏｓ（α － β）的值． 题型三 给值求角 　 　 典例３ （１）已知α为三角形的内角且 １ ２ ｃｏｓ α ＋ 槡３ ２ ｓｉｎ α ＝ １ ２，则α ＝ 　 　 　 　 ； （２）已知ｃｏｓ（α － β）＝ － １２１３，ｃｏｓ（α ＋ β）＝ １２ １３，且α － β (∈ π ２， )π ，α ＋ β (∈ ３π ２ ，２ )π ，求角 β的值． ［分析］　 （１）由公式可求出ｃｏ (ｓ α － π )３ 的 值，再根据α的范围确定α － π３的值． （２）由