5.4.3 正切函数的性质与图象(学案)-【成才之路】2022-2023学年高中新教材数学必修第一册同步学习指导(人教A版2019)

!"#$%&'() ＲＪＡ * ［方法点拨］　 解决与三角函数有关的函数 问题时，定义域是首先要考虑的问题，要在定义 域内思考问题． 学科素养　 　 　 与三角函数有关的函数的值域（或最值）的 求解问题 　 　 １．求形如ｙ ＝ ａｓｉｎ ｘ ＋ ｂ的函数的最值或值 域时，可利用正弦函数的有界性（－ １≤ｓｉｎ ｘ≤ １）求解． ２．对于形如ｙ ＝ Ａｓｉｎ（ωｘ ＋ φ）＋ ｋ（Ａ，ω≠０） 的函数，当定义域为Ｒ时，值域为［－ ｜ Ａ ｜ ＋ ｋ， ｜Ａ ｜ ＋ ｋ］；当定义域为某个给定的区间时，需确 定ωｘ ＋ φ的范围，结合函数的单调性确定值域． ３．求形如ｙ ＝ ａｓｉｎ２ｘ ＋ ｂｓｉｎ ｘ ＋ ｃ，ａ≠０，ｘ∈Ｒ 的函数的值域或最值时，可以通过换元，令ｔ ＝ ｓｉｎ ｘ，将原函数转化为关于ｔ的二次函数，利用 配方法求值域或最值，求解过程中要注意正弦 函数的有界性． ４．求形如ｙ ＝ ａｓｉｎ ｘ ＋ ｂｃｓｉｎ ｘ ＋ ｄ，ａｃ≠０的函数的值 域，可以用分离常量法求解；也可以利用正弦函 数的有界性建立关于ｙ的不等式反解出ｙ． 　 　 典例５ （１）求使下列函数取得最大值 和最小值时的ｘ值，并求出函数的最大值和最 小值： ①ｙ ＝ ２ｓｉｎ ｘ － １； ②ｙ ＝ － ｓｉｎ２ｘ ＋槡２ｓｉｎ ｘ ＋ ３４ ． （２）求下列函数的值域： ①ｙ ＝ ２ｓｉｎ（２ｘ － π３），ｘ∈ π ３， ３π[ ]４ ； ②ｙ ＝ ｓｉｎ ｘ － ２ｓｉｎ ｘ ＋ １． ［分析］　 （１）①先确定ｓｉｎ ｘ的最值再求ｙ 的最值；②换元转化为二次函数的最值，通过确 定新元的范围，求ｙ的最值． （２）①利用ｙ ＝ ｓｉｎ ｘ的图象求解；②利用分 离常数法或｜ ｓｉｎ ｘ ｜≤１求解． 作答：　                                  　 课堂检测·固双基 １．函数ｙ ＝ ２ｓｉｎ ｘ（０≤ｘ≤π６）的值域是（Ｃ ） 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　Ａ．［－ ２，２］ Ｂ．［－ １，１］ Ｃ．［０，１］ Ｄ．［０，２］ ２．下列关系式中正确的是 （Ｃ ） Ａ． ｓｉｎ １１° ＜ ｃｏｓ １０° ＜ ｓｉｎ １６８° Ｂ． ｓｉｎ １６８° ＜ ｓｉｎ １１° ＜ ｃｏｓ １０° Ｃ． ｓｉｎ １１° ＜ ｓｉｎ １６８° ＜ ｃｏｓ １０° Ｄ． ｓｉｎ １６８° ＜ ｃｏｓ １０° ＜ ｓｉｎ １１° ３．函数ｙ ＝ ｓｉｎ ２ｘ的单调减区间是 （Ｂ ） Ａ． π２ ＋ ２ｋπ， ３ ２ π ＋ ２ｋ[ ]π （ｋ∈Ｚ） Ｂ． ｋπ ＋ π４，ｋπ ＋ ３ ４[ ]π （ｋ∈Ｚ） Ｃ． π ＋ ２ｋπ，３π ＋ ２ｋ[ ]π （ｋ∈Ｚ） Ｄ． ｋπ － π４，ｋπ ＋ π[ ]４ （ｋ∈Ｚ） ４．函数ｙ ＝ ｃｏ (ｓ ｘ ＋ π )６ ，ｘ∈［０， π ２ ］的值域是 　 　 　 　 　 ． ５．函数ｙ ＝ ｃｏｓ２ｘ －４ｃｏｓ ｘ ＋５的值域为　 　 　 　 ． 请同学们认真完成练案［４８］（Ｂ本                  ） ５． ４． ３　 正切函数的性质与图象 学习目标 核心素养 了解正切函数图象的画法，理解并掌握正切函数的性质 数学抽象 能利用正切函数的图象及性质解决有关问题 逻辑推理 通过对正切函数从性质到图象，从图象到性质的探究学习，培养学生的探索精 神和创新思维 逻辑推理 !!"# 　 １６１ +,-&./+01"234 必备知识·探新知 知识点正切函数的图象与性质 　 　 （１）图象：如图所示． 　 　 正切函数ｙ ＝ ｔａｎ ｘ的图象叫做正切曲线． （２）性质：如下表所示． 　 　 　 　 函数 性质　 　 　 　 ｙ ＝ ｔａｎ ｘ 定义域 ｘ ｘ≠ π２ ＋ ｋπ，ｋ∈{ }Ｚ 值域 Ｒ 周期 　 　 　 奇偶性 奇函数 单 调 性 增区间 － π２ ＋ ｋπ， π ２ ＋ ｋ( )π （ｋ∈Ｚ） 减区间 无 　 　 ［拓展］（１）正切函数图象的对称中心是 ｋπ ２ ，( )０ （ｋ∈Ｚ），不存在对称轴． （２）直线ｘ ＝ π２ ＋ ｋπ（ｋ∈Ｚ）称为正切曲线 的渐近线，正切曲线无限接近渐近线． （３）函数ｙ ＝ Ａｔａｎ（ωｘ ＋ φ）＋ ｂ的周期是Ｔ ＝ π ｜ω ｜ ． 想一想：（１）正切函数的图象有怎样的 特征？ （２）“正切函数在其定义域内是增函数”这 种说法是否正确？ 　 　 练一练： １．下列说法正确的个数是 （Ａ ） ①正切函数的定义域和值域都是Ｒ； ②正切函数在其定义域内是单调递增 函数； ③函数ｙ ＝ ｜ ｔａｎ ｘ ｜与ｙ ＝ ｔａｎ