5.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(学案)-【成才之路】2022-2023学年高中新教材数学必修第一册同步学习指导(人教A版2019)

+,-&./+01"234 ５． ４． ２　 正弦函数、余弦函数的性质 学习目标 核心素养 理解周期函数、周期、最小正周期的定义，并会求正弦函数ｙ ＝ ｓｉｎ ｘ、余 弦函数ｙ ＝ ｃｏｓ ｘ的周期 数学抽象、数学运算 掌握正弦函数ｙ ＝ ｓｉｎ ｘ，余弦函数ｙ ＝ ｃｏｓ ｘ的奇偶性，会判断简单三角 函数的奇偶性 数学运算 掌握ｙ ＝ ｓｉｎ ｘ，ｙ ＝ ｃｏｓ ｘ的最大值与最小值，并会求简单三角函数的值 域和最值 数学运算 掌握ｙ ＝ ｓｉｎ ｘ，ｙ ＝ ｃｏｓ ｘ的单调性，并能利用单调性比较大小，并会求函 数ｙ ＝ Ａｓｉｎ（ωｘ ＋ φ）及ｙ ＝ Ａｃｏｓ（ωｘ ＋ φ）的单调区间 数学运算、逻辑推理 让学生探究学习正、余弦函数的图象性质，体会数形结合的思想，激发 学生学习数学的兴趣 逻辑推理 第１课时　 正弦函数、余弦函数的性质（一） 必备知识·探新知 知识点１ 函数的周期 　 　 （１）周期函数：设函数ｆ（ｘ）的定义域为Ｄ， 如果存在一个非零常数Ｔ，使得对每一个ｘ∈Ｄ 都有（ｘ ＋ Ｔ）∈Ｄ，且ｆ（ｘ ＋ Ｔ）＝ ｆ（ｘ），那么这个 函数的周期为Ｔ． （２）最小正周期：如果在周期函数ｆ（ｘ）的 所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最 小正数就叫做ｆ（ｘ）的最小正周期． 想一想：是不是所有的函数都是周期函数？ 若一个函数是周期函数，它的周期是否唯一？ 　 　 练一练： １．下列函数中，周期为π２的是 （Ｄ ） Ａ． ｙ ＝ ｓｉｎ ｘ２ 　 　 　 　 Ｂ． ｙ ＝ ｓｉｎ ２ｘ Ｃ． ｙ ＝ ｃｏｓ ｘ４ Ｄ． ｙ ＝ ｃｏｓ ４ｘ 　 　 ２．若函数ｆ（ｘ）满足ｆ（ｘ ＋ ３）－ ｆ（ｘ）＝ ０，则 函数ｆ（ｘ）是周期为　 　 　 　 的周期函数． 知识点２ 正弦函数、余弦函数的周期性和奇 偶性 函数 ｙ ＝ ｓｉｎ ｘ ｙ ＝ ｃｏｓ ｘ 周期 ２ｋπ（ｋ∈Ｚ且ｋ≠０） ２ｋπ（ｋ∈Ｚ 且ｋ≠０） 最小正周期 ２π ２π 奇偶性 奇函数 偶函数 　 　 想一想：（１）正弦曲线对称吗？ （２）余弦曲线对称吗？ 　 　 练一练： １．函数ｙ ＝槡２ｓｉｎ ２ｘ的奇偶性为 （Ａ ） Ａ．奇函数 Ｂ．偶函数 Ｃ．既是奇函数又是偶函数 Ｄ．非奇非偶函数 ２．函数ｙ ＝ － ｓｉｎ ２ｘ，ｘ∈Ｒ是 （Ａ ） Ａ．最小正周期为π的奇函数 Ｂ．最小正周期为π的偶函数 Ｃ．最小正周期为２π的奇函数 Ｄ．最小正周期为２π                                     的偶函数 !!"# 　 １５６ !"#$%&'() ＲＪＡ * 关键能力·攻重难 题型探究　 题型一 三角函数的周期 　 　 典例１ 求下列函数的周期： （１）ｙ ＝ ｓｉｎ １２ ｘ；（２）ｙ ＝２ｓｉｎ ｘ ３ － π( )６ ；（３）ｙ ＝ ｜ ｃｏｓ ｘ ｜，ｘ∈Ｒ． ［分析］　 可以根据周期函数的定义求解， 也可以用公式Ｔ ＝ ２π｜ω ｜直接求解． 作答：　 　 ［归纳提升］　 求三角函数周期的方法 （１）定义法：紧扣周期函数的定义，寻求对定 义域内的任意实数ｘ都满足ｆ（ｘ ＋ Ｔ）＝ ｆ（ｘ）的 非零常数Ｔ．该方法主要适用于抽象函数． （２）公式法：对形如ｙ ＝ Ａｓｉｎ（ωｘ ＋ φ）和ｙ ＝ Ａｃｏｓ（ωｘ ＋ φ）（其中Ａ，ω，φ是常数，且Ａ≠０， ω≠０），可利用Ｔ ＝ ２π｜ω ｜来求． （３）图象法：可画出函数的图象，借助于图 象判断函数的周期，特别是对于含绝对值的函 数一般可采用此法． 【对点练习】? 求下列函数的最小正周期： （１）ｙ ＝ ｓｉｎ ３ｘ ＋ π( )３ ； （２）ｙ ＝ ｜ ｓｉｎ ｘ ｜； （３）ｙ ＝ ｓｉｎ ２πｘ － π( )４ ． 题型二 三角函数奇偶性的判断 　 　 典例２ 判断下列函数的奇偶性： （１）ｆ（ｘ）＝ ｜ ｓｉｎ ｘ ｜ ＋ ｃｏｓ ｘ； （２）ｆ（ｘ）＝ ｓｉｎ ３ｘ４ ＋ ３π( )２ ； （３）ｆ（ｘ）＝ １ ＋ ｓｉｎ ｘ － ｃｏｓ ２ｘ １ ＋ ｓｉｎ ｘ ． ［分析］　 先求函数的定义域，判断函数定义 域是否关于原点对称，再判断ｆ（－ ｘ）与ｆ（ｘ）的关 系，最终确定奇偶性． 作答：　 　 ［归纳提升］　 １．判断函数奇偶性的常用 方法： （１）定义法，即从ｆ（－ ｘ）的解析式中拼凑 出ｆ（ｘ）的解析式，再看ｆ（－ ｘ）＝ － ｆ（ｘ）或 ｆ（－ ｘ）＝ ｆ（ｘ）是否成立． （２）图象法，即作出函数的图象，由图象的 对称性确定其奇偶性． （３）验证法，即验证ｆ（－ ｘ）＋ ｆ（ｘ）＝ ０或 ｆ（－ ｘ）－ ｆ（ｘ）＝ ０（或ｆ（－ ｘ）ｆ（ｘ） ＝ ± １）是否成立． 此法通常用于函