5.2.2 同角三角函数的基本关系(学案)-【成才之路】2022-2023学年高中新教材数学必修第一册同步学习指导(人教A版2019)

+,-&./+01"234 学科素养　 　 　 分类讨论思想在化简三角函数式中的应用 　 　 典例４ 设角α的终边不在坐标轴上， 求函数ｙ ＝ ｓｉｎ α｜ ｓｉｎ α ｜ ＋ ｃｏｓ α ｜ ｃｏｓ α ｜ ＋ ｔａｎ α｜ ｔａｎ α ｜ 的值域． 作答：　 　 ［归纳提升］　 对于多个三角函数符号的判 断问题，要进行分类讨论          ． 课堂检测·固双基 １． ｓｉｎ － １０３( )π 的值等于 （Ｃ ） Ａ． １２ 　 　 　 　 　 　 　 　 Ｂ． － １ ２ Ｃ．槡３２ Ｄ． －槡 ３ ２ ２．已知角α为第三象限角，则点Ｐ（ｔａｎ α，ｓｉｎ α） 在 （Ｄ ） Ａ．第一象限 Ｂ．第二象限 Ｃ．第三象限 Ｄ．第四象限 ３．若角α的终边过点（－ ５，－ ３），则 （Ｃ ） Ａ． ｓｉｎ αｔａｎ α ＞ ０ Ｂ． ｃｏｓ αｔａｎ α ＞ ０ Ｃ． ｓｉｎ αｃｏｓ α ＞ ０ Ｄ． ｓｉｎ αｃｏｓ α ＜ ０ ４．计算：ｃｏｓ － ５π( )３ ＋ ｓｉｎ １３π６ ·ｔａｎ ８π． 请同学们认真完成练案［４２］（Ｂ本                    ） ５． ２． ２　 同角三角函数的基本关系式 学习目标 核心素养 理解并掌握同角三角函数的基本关系 数学抽象 会用同角三角函数的基本关系进行三角函数式的求值、化简和证明 数学运算、逻辑推理 通过对同角三角函数的基本关系式的探究学习，让学生学会用联系的观 点，化归与转化的思想，数形结合的思想分析解决问题，培养探究精神和 创新意识 逻辑推理 必备知识·探新知 知识点同角三角函数的基本关系式 　 　 １．公式 （１）平方关系：ｓｉｎ２α ＋ ｃｏｓ２α ＝ １． （２）商数关系：　 　 　 ． 　 　 ２．公式推导 如图，设点Ｐ（ｘ，ｙ）是 角α的终边与单位圆的交 点，过Ｐ作ｘ轴的垂线，交ｘ 轴于Ｍ，则△ＯＭＰ是直角三 角形，而且ＯＰ ＝ １． 由勾股定理，得ＯＭ２ ＋ＭＰ２ ＝ １，因此ｘ２ ＋ ｙ２ ＝ １， 即ｓｉｎ２α ＋ ｃｏｓ２α ＝ １． 根据三角函数的定义，当α≠ｋπ ＋ π２ （ｋ∈ Ｚ）时，有ｓｉｎ αｃｏｓ α ＝ ｔａｎ α． 这就是说，同一个角α的正弦、余弦的平方 和等于１，商等于角α的正切                ． !!"# 　 １４２ !"#$%&'() ＲＪＡ * 　 　 ［注意］　 对同角三角函数基本关系式的理解 （１）注意“同角”，这里“同角”有两层含义， 一是“角相同”，二是对“任意”一个角（在使函 数有意义的前提下）关系式都成立，即与角的表 达形式无关，如ｓｉｎ２３α ＋ ｃｏｓ２３α ＝ １成立，但是 ｓｉｎ２α ＋ ｃｏｓ２β ＝ １就不一定成立． （２）ｓｉｎ２α是（ｓｉｎ α）２的简写，读作“ｓｉｎ α的 平方”，不能将ｓｉｎ２α写成ｓｉｎ α２，前者是α的正 弦的平方，后者是α２的正弦，两者是不同的，要 弄清它们的区别，并能正确书写． （３）同角三角函数的基本关系式是针对使 三角函数有意义的角而言的，ｓｉｎ２α ＋ ｃｏｓ２α ＝ １ 对一切α∈Ｒ恒成立，而ｔａｎ α ＝ ｓｉｎ αｃｏｓ α仅对α≠ π ２ ＋ ｋπ（ｋ∈Ｚ）成立． ３．常用的等价变形 ｓｉｎ２α ＋ ｃｏｓ２α ＝ １ ｓｉｎ２α ＝ １ － ｃｏｓ２α， ｃｏｓ２α ＝ １ － ｓｉｎ２α， ｓｉｎ α ＝ ± １ － ｃｏｓ２槡 α， ｃｏｓ α ＝ ± １ － ｓｉｎ２槡 α        ； ｔａｎ α ＝ ｓｉｎ αｃｏｓ α ｓｉｎ α ＝ ｔａｎ αｃｏｓ α， ｃｏｓ α ＝ ｓｉｎ αｔａｎ α{ ． 想一想：变形公式的应用要注意哪些方面？ 　 　 练一练： １．下列四个结论中可能成立的是（Ｂ ） Ａ． ｓｉｎ α ＝ １２且ｃｏｓ α ＝ １ ２ Ｂ． ｓｉｎ α ＝ ０且ｃｏｓ α ＝ － １ Ｃ． ｔａｎ α ＝ １且ｃｏｓ α ＝ － １ Ｄ． α是第二象限角时，ｔａｎ α ＝ － ｓｉｎ αｃｏｓ α ２．化简１ － ｓｉｎ２ ３π槡 ５的结果是 （Ｃ ） Ａ． ｃｏｓ ３π５ 　 　 　 　 　 Ｂ． ｓｉｎ ３π ５ Ｃ． － ｃｏｓ ３π５ Ｄ． － ｓｉｎ ３π ５ 　 　 ３．已知ｓｉｎ α ＝ ７８，ｃｏｓ α ＝ 槡１５ ８ ，则ｔａｎ α 等于 （Ｄ ） Ａ． ７８ Ｂ． 槡１５ ８ Ｃ．槡１５７ Ｄ． ７槡１５                                       １５ 关键能