5.1.2 弧度制(学案)-【成才之路】2022-2023学年高中新教材数学必修第一册同步学习指导(人教A版2019)

+,-&./+01"234 ５． １． ２　 弧度制 学习目标 核心素养 掌握弧度与角度的互化，熟悉特殊角的弧度数 数学运算 掌握弧度制中扇形的弧长和面积公式及公式的简单应用 数学运算 根据弧度制与角度制的互化以及弧度制条件下扇形的弧长和面积公式，体会 引入弧度制的必要性 逻辑推理 必备知识·探新知 知识点１ 度量角的两种制度 　 　 （１）角度制． ①定义：用度　 　 作为单位来度量角的单 位制． ②１度的角：周角的　 　 　 为１度角，记 作１°． （２）弧度制 ①定义：以弧度　 为单位来度量角的单 位制． ②１弧度的角：长度等于半径长的圆弧所对 的圆心角叫做１弧度的角． ③表示方法：１弧度记作１ ｒａｄ． 想一想：圆心角α所对应的弧长与半径的 比值是否是唯一的确定的？ 　 　 练一练：下列说法中正确的是 （Ｄ ） Ａ． １弧度是１度的圆心角所对的弧 Ｂ． １弧度是长度为半径长的弧 Ｃ． １弧度是１度的弧与１度的角之和 Ｄ． １弧度是长度等于半径长的弧所对的圆 心角的大小，它是角的一种度量单位 知识点２ 弧度数 　 　 一般地，正角的弧度数是一个　 　 正数，负 角的弧度数是一个负　 　 　 数，零角的弧度数 是０　 　 ． 如果半径为ｒ的圆的圆心角α所对弧的长 为ｌ，那么角α的弧度数的绝对值是｜ α ｜ ＝ 　 　 　 ． 想一想：（１）建立弧度制的意义是什么？ （２）对于角度制和弧度制，在具体的应用 中，两者可混用吗？如何书写才是规范的？ 　 　 练一练： １．已知半径为１０ ｃｍ的圆上，有一条弧的长是 ４０ ｃｍ，则该弧所对的圆心角的弧度数是４　 　 　 ． ２．如果α ＝ － ２，则α的终边所在的象限为 （Ｃ ） Ａ．第一象限　 　 　 　 Ｂ．第二象限 Ｃ．第三象限 Ｄ．第四象限 知识点３ 弧度与角度的换算公式 　 　 （１）周角的弧度数是２π，而在角度制下的 度数是３６０°，于是３６０° ＝ ２π ｒａｄ，即 根据以上关系式就可以进行弧度与角度的 换算了． 弧度与角度的换算公式如下： 若一个角的弧度数为α，角度数为ｎ，则 α ｒａｄ ＝ １８０α( )π °，ｎ° ＝ ｎ·π１８０ ｒａｄ． （２）常用特殊角的弧度数 ０° ３０° ４５° ６０° ９０° １２０° １３５° １５０° １８０° ２７０° ３６０° ０ π６ π ４ π ３ π ２ ２π ３ ３π ４ ５π ６ π ３π ２ ２                                                    π !!"# 　 １３４ !"#$%&'() ＲＪＡ * 　 　 （３）角的概念推广后，在弧度制下，角的集合 与实数集Ｒ之间建立起一一对应关系：每一个角 都有唯一的一个实数（即这个角的弧度数）与它对 应；反过来，任一个实数也都有唯一的一个　 　 角 （即弧度数等于这个实数的角）与它对应． 想一想：（１）角度制与弧度制在进制上有何 区别？ （２）弧度数与角度数之间有何等量关系？ 　 　 练一练： １． ４０°角的弧度数为 （Ｂ ） Ａ． ４０ Ｂ． ２π９ Ｃ． ４π９ Ｄ． ７ ２００ π ２．与６０°终边相同的角可表示为 （Ｄ ） Ａ． ｋ·３６０° ＋ π３（ｋ∈Ｚ） Ｂ． ２ｋπ ＋ ６０°（ｋ∈Ｚ） Ｃ． ２ｋ·３６０° ＋ ６０°（ｋ∈Ｚ） Ｄ． ２ｋπ ＋ π３（ｋ∈Ｚ） 知识点４ 弧度制下的弧长公式与扇形面积 公式 　 　 （１）弧长公式 在半径为ｒ的圆中，弧长为ｌ的弧所对的圆 心角大小为α，则｜α ｜ ＝ ｌｒ，变形可得ｌ ＝ ｜α ｜ ｒ，此公 式称为弧长公式，其中α的单位是弧度． （２）扇形面积公式 由圆心角为１ ｒａｄ的扇形面积为πｒ ２ ２π ＝ １２ ｒ ２， 而弧长为ｌ的扇形的圆心角大小为ｌｒ ｒａｄ，故其 面积为Ｓ ＝ ｌｒ × ｒ２ ２ ＝ １ ２ ｌｒ，将ｌ ＝ ｜α ｜ ｒ代入上式可 得Ｓ ＝ １２ ｌｒ ＝ １ ２ ｜ α ｜ ｒ ２，此公式称为扇形面积 公式． 想一想：（１）弧度制下弧长公式及扇形面积 公式有哪些常用变形形式？ （２）弧度制下的弧长公式及扇形面积公式 可以解决哪些问题？体现了什么数学思想？ 　 　 练一练：一个扇形的面积为１，周长为４，则 该扇形圆心角的弧度数为　 　 　 　                                          ． 关键能力·攻重难 题型探究　 题型一 角度与弧度的换算及应用 　 　 典例１ 将下列角度与弧度进行互化： （１）２０°；（２