5.1.1 任意角(学案)-【成才之路】2022-2023学年高中新教材数学必修第一册同步学习指导(人教A版2019)

+,-&./+01"234 第五章　 三角函数 ５． １　 任意角和弧度制 ５． １． １　 任意角 学习目标 核心素养 了解任意角的概念，能区分各类角的概念 数学抽象 掌握象限角的概念，并会用集合表示象限角 直观想象 理解终边相同的角的含义及表示，并能解决有关问题 数学运算 能够根据任意角的概念，结合象限角的概念，分析角、倍角、半角所在象限，为 以后的学习打好基础 逻辑推理 必备知识·探新知 知识点１ 角的概念 　 　 角可以看成一条射线绕着端点旋转所成的 图形． 想一想：定义中当射线旋转时有几种旋转 方向？ 知识点２ 角的表示 　 　 顶点：用Ｏ表示； 始边：用ＯＡ表示，用语言可表示为起始 位置； 终边：用ＯＢ表示，用语言可表示为终止 位置． 想一想：（１）当角的始边和终边确定后，这 个角就被确定了吗？ （２）你能说出角的三要素吗                         ？ !!"# 　 １３０ !"#$%&'() ＲＪＡ * 知识点３ 角的分类 类型 定义 图示 正角 一条射线绕其端点 按逆时针方向旋转 形成的角 负角 一条射线绕其端点 按顺时针方向旋转 形成的角 零角 一条射线没有作任 何旋转，称它形成了 一个零角 　 　 想一想：（１）正角、负角、零角是根据什么区 分的？ （２）如果一个角的终边与其始边重合，这个 角一定是零角吗？ 　 　 练一练： 　 　 １．下列各角：－ ６０°，１２６°，－ ６３°，０°，９９°，其 中正角的个数是 （Ｂ ） Ａ． １　 　 　 Ｂ． ２　 　 　 Ｃ． ３　 　 　 Ｄ． ４ 　 　 ２．将射线ＯＭ绕端点Ｏ按逆时针方向旋转 １２０°所得的角为 （Ａ ） Ａ． １２０°　 　 　Ｂ． － １２０°　 　 　Ｃ． ６０°　 　 　Ｄ． ２４０° 知识点４ 象限角 　 　 如果角的顶点与原点重合，角的始边与ｘ 轴的非负半轴重合，那么，角的终边在第几象 限，就说这个角是第几象限角．如果角的终边在 坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限． 想一想：把一个角放在平面直角坐标系中 时，这个角是否一定就是某一个象限的角？ 　 　 练一练： 　 　 － ２１５°是 （Ｂ ） Ａ．第一象限角　 　 　 　 　 　Ｂ．第二象限角 Ｃ．第三象限角 Ｄ．第四象限角 知识点５ 终边相同的角 　 　 所有与角α终边相同的角，连同角α在内， 可构成一个集合Ｓ ＝｛β ｜ β ＝ α ＋ ｋ·３６０°，ｋ∈，即 任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α 与整数个周角的和． 想一想：反过来，若角α，β满足Ｓ ＝｛β ｜ β ＝ α ＋ ｋ·３６０°，ｋ∈Ｚ｝时，角α，β是否是终边相同 的角？ 　 　 练一练： 　 　 １．（２０２１·济南外国语期中）下列各角中， 与－ １ １１０°的角终边相同的角是 （Ｄ ） Ａ． ６０°　 　 　 　 　 　 　 　 　Ｂ． － ６０° Ｃ． ３０° Ｄ． － ３０° ２．图中从ＯＡ旋转到ＯＢ，ＯＢ１，ＯＢ２ 时所成 的角度分别是　 　 　 　 、　 　 　 　 、　 　 　 　 ．                                                      关键能力·攻重难 题型探究　 题型一 任意角的概念 　 　 典例１ 下列命题正确的是 （Ｃ ） Ａ．终边与始边重合的角是零角 Ｂ．终边和始边都相同的两个角一定相等 Ｃ．在９０°≤β ＜ １８０°范围内的角β不一定是 钝角 Ｄ．小于９０°的角是锐角 ［分析］　 角的概念推广后确定角的关键是 抓住角的旋转方向和旋转量． 作答：　              　 !!"# 　 １３１ +,-&./+01"234 ［归纳提升］　 关于角的概念问题的处理 正确解答角的概念问题，关键在于正确理 解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等的概 念，弄清角的始边与终边及旋转方向与大小．另 外需要掌握判断结论正确与否的技巧，判断结 论正确需要证明，而判断结论不正确只需举一 个反例即可． 【对点练习】? （１）（多选题）下列说法，不 正确的是 （ＡＣＤ ） Ａ．三角形的内角必是第一、二象限角 Ｂ．始边相同而终边不同的角一定不相等 Ｃ．钝角比第三象限角小 Ｄ．小于１８０°的角是钝角、直角或锐角 （２）经过２个小时，钟表的时针和分针转过 的角度分别是 （Ｂ ） Ａ． ６０°，７２０°　 　 　 　 Ｂ． － ６０°，－ ７２０° Ｃ． － ３０°，－ ３６０° Ｄ． － ６０°，７２０° 题型二 终边相同的角 　 　 典例２ 已知α