3.3 幂函数(学案)-【成才之路】2022-2023学年高中新教材数学必修第一册同步学习指导(人教A版2019)

!"#$%&'() ＲＪＡ * ３． ３　 幂函数 学习目标 核心素养 通过具体实例，理解幂的概念 数学抽象 会画简单幂函数的图象，并能根据图象得出这些函数的性质 直观想象 理解常见幂函数的基本性质 逻辑推理 必备知识·探新知 知识点１ 幂函数的概念 　 　 函数　 ｙ ＝ ｘα 叫做幂函数，其中ｘ是自变 量，α是常数． 想一想：幂函数的解析式有什么特征？ 　 　 练一练： １．下列函数为幂函数的是 （Ｄ ） Ａ． ｙ ＝ ２ｘ４ 　 　 　 　 　 Ｂ． ｙ ＝ ２ｘ３ － １ Ｃ． ｙ ＝ ２ｘ Ｄ． ｙ ＝ ｘ ２ ２．（２０２１·安徽太和中学高一期中测试）已 知幂函数ｆ（ｘ）的图象过点（２，２槡２），则ｆ（４）的 值为 （Ｂ ） Ａ． ４ Ｂ． ８ Ｃ． ２槡２ Ｄ． １２ 知识点２ 幂函数的图象及性质 　 　 （１）五个幂函数的图象： （２）幂函数的性质： 幂函数ｙ ＝ ｘ ｙ ＝ ｘ２ ｙ ＝ ｘ３ ｙ ＝ ｘ １２ ｙ ＝ ｘ － １ 定义域Ｒ Ｒ Ｒ ［０，＋ ∞）（－ ∞，０）∪（０，＋ ∞） 值域 Ｒ ［０，＋ ∞） Ｒ ［０，＋ ∞） ｛ｙ ｜ ｙ∈Ｒ且ｙ≠０｝ 奇偶性奇 偶 奇非奇非偶 奇 单调性　 增 ｘ∈（０，＋ ∞） 增； ｘ∈（－ ∞，０） 减 　 增 　 增 ｘ∈（０，＋ ∞） 减； ｘ∈（－ ∞，０） 减 公共点 都经过点（１，１） 　 　 想一想：当α ＞ ０时，幂函数ｙ ＝ ｘα的图象在 第一象限内有什么共同特征？ 　 　 练一练： １．判断下列说法是否正确，正确的打“√”， 错误的打“×”． （１）函数ｙ ＝ － ｘ２是幂函数． （ × ） （２）幂函数ｙ ＝ ｘ２是偶函数． （√ ） （３）幂函数ｙ ＝ ｘ －１是增函数． （ × ） （４）幂函数都过点（０，０），（１，１）． （ × ） （５）幂函数的图象不过第四象限． （√ ） （６）当０ ＜ ｘ ＜ １时，ｙ ＝ ｘ １２的图象在ｙ ＝ ｘ２的 图象的下方． （ × ） ２． ３． １７ －１与３． ７１ －１的大小关系为　 ３． １７ －１ ＞ ３． ７１ －１                                                     ． !!"# 　 ０７７ +,-&./+01"234 关键能力·攻重难 题型探究　 题型一 幂函数的概念 　 　 典例１ 已知函数ｆ（ｘ）＝ （ｍ２ ＋ ２ｍ） ｘｍ ２ ＋ｍ －１，ｍ为何值时，ｆ（ｘ）是：（１）正比例函数； （２）反比例函数；（３）二次函数；（４）幂函数． ［分析］　 本题将正比例函数、反比例函数、 二次函数和幂函数放在一起考查，要注意区别 它们之间的不同点，根据各自定义：（１）正比例 函数ｙ ＝ ｋｘ（ｋ≠０）；（２）反比例函数ｙ ＝ ｋｘ（ｋ≠ ０）；（３）二次函数ｙ ＝ ａｘ２ ＋ ｂｘ ＋ ｃ（ａ≠０）；（４）幂 函数ｙ ＝ ｘα（α是常数），转化为系数和指数的取 值问题． 作答：　 　 ［归纳提升］　 形如ｙ ＝ ｘα 的函数叫幂函 数，这里需有：（１）系数为１，（２）指数为一常数， （３）后面不加任何项．例如ｙ ＝ ３ｘ，ｙ ＝ ｘｘ ＋１，ｙ ＝ ｘ２ ＋ １均不是幂函数． 【对点练习】? 有下列函数： ①ｙ ＝ ３ｘ２；②ｙ ＝ ｘ２ ＋ １； ③ｙ ＝ － １ｘ；④ｙ ＝ １ ｘ； ⑤ｙ ＝ ｘ ２ ３；⑥ｙ ＝ ｘ３ ． 其中，是幂函数的有　 ④⑤⑥（只填序号）． 题型二 幂函数的图象 　 　 典例２ 函数ｙ ＝ ｘα与ｙ ＝ α (ｘ α {∈ －１， １，１２，２，} )３ 的图象只可能是下面中的哪一个 （Ｃ ） 　 　 ［分析］　 逐个分析函数图象，也可给α分 别取已知数值，研究两个函数在同一个坐标系 的图象形状． ［归纳提升］　 解决幂函数图象问题应把握 的两个原则 （１）依据图象高低判断幂指数大小，相关结 论为： ①在（０，１）上，指数越大，幂函数的图象越 靠近ｘ轴； ②在（１，＋ ∞）上，指数越大，幂函数的图象 越远离ｘ轴． （２）依据图象确定幂指数α与０，１的大小关 系，即根据幂函数在第一象限内的图象来判断． 【对点练习】? （１）函数ｙ ＝ ｘ ５３的图象大致 是 （Ｂ ） （２）当α {∈ － １，１２，１， }３ 时，幂函数ｙ ＝ ｘα 的图象不可能经过第　 二、四象限． 题型三 幂函数简单性质的应用 　 　 角度１　 比较幂的大小 　 　 典例３ 比较下列各题中两个数的 大小： （１）２． ３ ３４，２． ４ ３４                     