3.2.2 奇偶性(学案)-【成才之路】2022-2023学年高中新教材数学必修第一册同步学习指导(人教A版2019)

!"#$%&'() ＲＪＡ * ３． ２． ２　 奇偶性 学习目标 核心素养 理解奇函数、偶函数的概念 数学抽象 掌握判断某些函数奇偶性的方法 逻辑推理 掌握奇偶函数的图象特征 直观想象 会根据概念和图象判断简单函数的奇偶性 逻辑推理 必备知识·探新知 知识点１ 函数的奇偶性 前提函数ｆ（ｘ）的定义域为Ｉ，ｘ∈Ｉ，都有－ ｘ∈Ｉ 条件 ｆ（－ ｘ）＝ 　 ｆ（ｘ） ｆ（－ ｘ）＝ 　 － ｆ（ｘ） 结论函数ｆ（ｘ）叫　 偶函数函数ｆ（ｘ）叫　 奇函数 　 　 想一想：（１）如果定义域内存在ｘ０，满足 ｆ（－ ｘ０）＝ ｆ（ｘ０），函数ｆ（ｘ）是偶函数吗？ （２）函数的奇偶性定义中，对于定义域内任 意的ｘ，满足ｆ（－ ｘ）＝ ｆ（ｘ）或ｆ（－ ｘ）＝ － ｆ（ｘ）， 那么奇、偶函数的定义域有什么特征？ 　 　 练一练： １．下列函数是偶函数的是 （Ａ ） Ａ． ｙ ＝ ２ｘ２ － ３　 　 　 　 Ｂ． ｙ ＝ ｘ３ Ｃ． ｙ ＝ ｘ２，ｘ∈［０，１］ Ｄ． ｙ ＝ ｘ ２．已知ｆ（ｘ）＝ ａｘ２ ＋ ｂｘ是定义在［ａ － １，２ａ］ 上的偶函数，则ａ ＋ ｂ的值为 （Ｂ ） Ａ． ０ Ｂ． １３ Ｃ． １ Ｄ． ２ 知识点２ 图象特征 　 　 （１）偶函数的图象关于　 ｙ　 　 轴对称． （２）奇函数的图象关于　 原点对称． 想一想：奇函数图象一定过原点吗？ 　 　 练一练： １．判断下列说法是否正确，正确的打“√”， 错误的打“×”． （１）ｆ（ｘ）是定义在Ｒ上的函数，若ｆ（－ １） ＝ ｆ（１），则ｆ（ｘ）一定是偶函数． （ × ） （２）函数ｆ（ｘ）＝ ｘ２，ｘ∈［０，＋ ∞）是偶函数． （ × ） （３）对于函数ｙ ＝ ｆ（ｘ），若存在ｘ，使ｆ（－ ｘ） ＝ － ｆ（ｘ），则函数ｙ ＝ ｆ（ｘ）一定是奇函数． （ × ） （４）不存在既是奇函数，又是偶函数的函 数． （ × ） （５）若函数的定义域关于原点对称，则这个 函数不是奇函数就是偶函数． （ × ） ２．下列图象表示的函数具有奇偶性的是 （Ｂ ）                                        关键能力·攻重难 题型探究　 题型一 函数奇偶性的判断 　 　 典例１ 判断下列函数的奇偶性： （１）ｆ（ｘ）＝ ｘ ＋ １； （２）ｆ（ｘ）＝ ｘ槡－ １ ＋ １ －槡ｘ； （３）ｆ（ｘ）＝ ｜ ｘ － ２ ｜ ＋ ｜ ｘ ＋ ２ ｜        ； !!"# 　 ０７３ +,-&./+01"234 （４）ｆ（ｘ）＝ １ ２ ｘ ２ ＋ １（ｘ ＞ ０） － １２ ｘ ２ － １（ｘ ＜ ０      ） ． ［分析］　 （１）函数具备奇偶性时，函数的 定义域有什么特点？ （２）判断函数的奇偶性应把握好哪几个关 键点？ 作答：　 　 ［注意］　 ①由于这里的－ ｘ ＜ ０，因此应将 － ｘ代入ｆ（ｘ）＝ － １２ ｘ ２ － １；②由于这里的－ ｘ ＞ ０，因此应将－ ｘ代入ｆ（ｘ）＝ １２ ｘ ２ ＋ １． ［归纳提升］　 判断函数奇偶性的方法 （１）定义法： （２）图象法：即若函数的图象关于原点对称，则 函数为奇函数；若函数图象关于ｙ轴对称，则函数为 偶函数．此法多用在解选择题、填空题中． 【对点练习】? 判断下列函数的奇偶性： （１）ｆ（ｘ）＝ １ｘ； （２）ｆ（ｘ）＝ － ３ｘ２ ＋ １； （３）ｆ（ｘ）＝ ｘ ２ ＋ ｘ（ｘ ＜ ０） ｘ － ｘ２（ｘ ＞ ０{ ）； （４）ｆ（ｘ）＝ ０； （５）ｆ（ｘ）＝ ２ｘ ＋ １； （６）ｆ（ｘ）＝ ｘ ３ － ｘ２ ｘ － １ ． 题型二 奇偶函数图象的应用 　 　 典例２ 设奇函数 ｆ（ｘ）的定义域为［－ ５，５］，若 当ｘ∈［０，５］时，ｆ（ｘ）的图象 如图所示，求不等式ｆ（ｘ）＜ ０ 的解集． ［分析］　 利用奇函数图象的对称性，画出 函数ｆ（ｘ）在［－ ５，０］上的图象，再根据图象写 出不等式ｆ（ｘ）＜ ０的解集． 作答：　 　 　 　 ［归纳提升］　 已知函数的奇偶性及部分图 象，根据对称性可补出另一部分图象，奇函数在 对称区间上的单调性相同；偶函数在对称区间 上的单调性相反． 【对点练习】? 已知函数ｙ ＝ ｆ（ｘ）是定义在 Ｒ上的偶函数，且当ｘ≤０时，ｆ（ｘ）＝ ｘ２ ＋ ２ｘ．现 已画出函数ｆ（ｘ）在ｙ轴左侧的图象，如图所示． （１）请补全完整函数ｙ ＝ ｆ（ｘ）的图象； （２）根据图象写出函数ｙ ＝ ｆ（ｘ）的增区间． 题型三 利用函数的奇偶性求解析式 　 　 典例３ 已知函数ｙ ＝ ｆ（ｘ）的图象关于 原点对称，且当ｘ ＞ ０时，ｆ（ｘ）＝ ｘ２ － ２