2.2 基本不等式(学案)-【成才之路】2022-2023学年高中新教材数学必修第一册同步学习指导(人教A版2019)

!"#$%&'() ＲＪＡ * 除，解题时必须利用性质，步步有据，避免改变 代数式的取值范围． 学科素养　 　 　 不等关系的实际应用 不等关系是数学中最基本的部分关系之 一，在实际问题中有广泛应用，也是高考考查的 重点内容． 　 　 典例５ 有三个房间需要粉刷，粉刷方 案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜 色各不相同．已知三个房间的粉刷面积（单位： ｍ２）分别为ｘ，ｙ，ｚ，且ｘ ＜ ｙ ＜ ｚ，三种颜色涂料的 粉刷费用（单位：元／ｍ２）分别为ａ，ｂ，ｃ，且ａ ＜ ｂ ＜ ｃ．在不同的方案中，最低的总费用（单位：元） 是 （Ｂ ） Ａ． ａｘ ＋ ｂｙ ＋ ｃｚ Ｂ． ａｚ ＋ ｂｙ ＋ ｃｘ Ｃ． ａｙ ＋ ｂｚ ＋ ｃｘ Ｄ． ａｙ ＋ ｂｘ ＋ ｃｚ ［分析］　 本题考查实际问题中不等关系的 建立及利用不等式的性质比较大小． ［归纳提升］　 对于不等关系判断问题的求 解，一般需要通过作差进行推理论证，对运算能 力要求较高，但对于具有明确不等关系的式子 进行判断时，特殊值法是一种非常值得推广的 简便方法                      ． 课堂检测·固双基 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　１．（２０２２·湖北省黄石一中检测）若ａ ＞ ｂ ＞ ０， ｃ ＜ ｄ ＜ ０，则一定有 （Ｂ ） Ａ． ａｄ ＞ ｂ ｃ 　 　 　 　 　 　 Ｂ． ａ ｄ ＜ ｂ ｃ Ｃ． ａｃ ＞ ｂ ｄ Ｄ． ａ ｃ ＜ ｂ ｄ ２．已知ａ ＞ ｂ，ｃ ＞ ｄ，且ｃ，ｄ均不为０，那么下列不 等式一定成立的是 （Ｄ ） Ａ． ａｄ ＞ ｂｃ Ｂ． ａｃ ＞ ｂｄ Ｃ． ａ － ｃ ＞ ｂ － ｄ Ｄ． ａ ＋ ｃ ＞ ｂ ＋ ｄ ３．已知ａ∈Ｒ，则“ａ ＞ １”是“１ａ ＜ １”的　 　 　 条 件 （Ａ ） Ａ．充分非必要 Ｂ．必要非充分 Ｃ．充要 Ｄ．非充分非必要 ４．给定下列命题： ①０ ＞ ａ ＞ ｂａ２ ＞ ｂ２；②ａ２ ＞ ｂ２ａ ＞ ｂ ＞ ０； ③ａ ＞ ｂ ｂａ ＜ １；④ａ ＞ ｂａ ３ ＞ ｂ３ ． 其中真命题的个数是 （Ｂ ） Ａ． ０ Ｂ． １ Ｃ． ２ Ｄ． ３ ５．若ａ ＞ ｂ ＞ ０，则１ ａｎ 　 　 　 　 １ ｂｎ （ｎ∈Ｎ ＋）． （填 “＞”或“＜”） 请同学们认真完成练案［１１］（Ａ本                         ） ２． ２　 基本不等式 学习目标 核心素养 了解基本不等式的代数和几何背景 数学抽象 理解并掌握基本不等式及其变形 逻辑推理 会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题 数学运算 会用基本不等式进行代数式大小的比较及证明不等式 逻辑推理 会用基本不等式求最值问题和解决简单的实际问题 数学运算 !!"# 　 ０３９ +,-&./+01"234 第１课时　 基本不等式 必备知识·探新知 知识点１ 重要不等式与基本不等式 　 　 想一想：（１）基本不等式中的ａ，ｂ只能是具 体的某个数吗？ （２）基本不等式成立的条件“ａ，ｂ ＞ ０”能省 略吗？请举例说明． 　 　 练一练： １．下列不等式正确的是 （Ｃ ） Ａ． ａ ＋ １ａ≥２ Ｂ．（－ ａ）＋ － １( )ａ ≤ － ２ Ｃ． ａ２ ＋ １ ａ２ ≥２ Ｄ．（－ ａ）２ ＋ － １( )ａ ２ ≤ － ２ ２．不等式ａ２ ＋ １≥２ａ中等号成立的条件是 　 　 　 　 ． 知识点２ 基本不等式与最值 　 　 已知ｘ，ｙ都为正数，则 （１）若ｘ ＋ ｙ ＝ ｓ（和为定值），则当ｘ ＝ ｙ时， 积ｘｙ取得最大值　 　 　 　 ． （２）若ｘｙ ＝ ｐ（积为定值），则当ｘ ＝ ｙ时，和 ｘ ＋ ｙ取得最小值　 ２槡ｐ． 想一想：应用基本不等式求最值的关键是 什么？ 　 　 练一练： １．判断正误（对的打“√”，错的打“×”） （１）两个不等式ａ２ ＋ ｂ２≥２ａｂ与ａ ＋ ｂ２ ≥槡ａｂ 成立的条件是相同的． （ × ） （２）当ａ ＞ ０，ｂ ＞ ０时，ａ ＋ ｂ≥２槡ａｂ． （√ ） （３）当ａ ＞ ０，ｂ ＞ ０时，ａｂ≤ ａ ＋ ｂ( )２ ２ ． （√ ） （４）函数ｙ ＝ ｘ ＋ １ｘ的最小值是２． （ × ） ２．已知ｘ ＞ ０，求ｘ ＋ １ｘ的最小值                                           ． 关键能力·攻重难 题型探究　 题型一 利用基本不等式判断命题真假 　 　 典例１ （１）下列不等式一定成立的是 （Ｃ ） Ａ． ｘ２ ＋ １槡４ ＞槡ｘ（ｘ ＞