2.1 等式性质与不等式性质(学案)-【成才之路】2022-2023学年高中新教材数学必修第一册同步学习指导(人教A版2019)

+,-&./+01"234 第二章　 一元二次函数、方程和不等式 ２． １　 等式性质与不等式性质 学习目标 核心素养 了解现实世界和日常生活中的等量关系与不等关系 数学抽象 了解不等式（组）的实际背景，会用不等式（组）表示不等关系 数学建模 掌握不等式的性质及应用 逻辑推理 会用作差法（或作商法）比较两个实数或代数式值的大小 数学运算 能运用等式的性质或不等式的性质解决相关问题 逻辑推理 第１课时　 不等关系与比较大小 必备知识·探新知 知识点１ 不等式与不等关系 　 　 不等式的定义所含的两个要点． （１）不等符号＜，＞，　 ≤，　 ≥或≠． （２）所表示的关系是　 不等关系． 想一想：不等式“ａ≤ｂ”的含义是什么？只 有当“ａ ＜ ｂ”与“ａ ＝ ｂ”同时成立时，该不等式才 成立，是吗？ 　 　 练一练：判断正误（对的打“√”，错的打 “×”） （１）不等式ｘ≥２的含义是指ｘ不小于２． （√ ） （２）若ｘ２ ＝ ０，则ｘ≥０． （√ ） （３）若ｘ － １≤０，则ｘ ＜ １． （ × ） （４）两个实数ａ，ｂ之间，有且只有ａ ＞ ｂ，ａ ＝ ｂ，ａ ＜ ｂ三种关系中的一种． （√ ） 知识点２ 比较两实数ａ，ｂ大小的依据 比较两 实数ａ，ｂ 的大小 依据 如果ａ － ｂ ＞ ０，那么　 ａ ＞ ｂ 如果ａ － ｂ ＜ ０，那么　 ａ ＜ ｂ 如果ａ － ｂ ＝ ０，那么　 ａ ＝{ ｂ 结论：确定任意两个实数ａ，ｂ的大小 　 　 关系，只需确定它们的差ａ － ｂ与０ 　 　                                   的大小关系 !!"# 　 ０３４ !"#$%&'() ＲＪＡ * 　 　 想一想：（１）在比较两实数ａ，ｂ大小的依据 中，ａ，ｂ两数是任意实数吗？ 　 　 （２）若“ｂ － ａ ＞ ０”，则ａ，ｂ的大小关系是怎 样的？ 　 　 练一练：已知ｘ ＜ １，则ｘ２ ＋ ２与３ｘ的大小关 系为　 ｘ２ ＋ ２ ＞ ３ｘ           ． 关键能力·攻重难 题型探究　 题型一 用不等式（组）表示不等关系 　 　 典例１ 某商人如果将进货单价为８元 的商品按每件１０元销售，每天可销售１００件， 现在他采用提高售价，减少进货量的办法增加 利润．已知这种商品的售价每提高１元，销售量 就相应减少１０件．若把提价后商品的售价设为 ｘ元，怎样用不等式表示每天的利润不低于 ３００元？ ［分析］　 由“这种商品的售价每提高１元， 销售量就相应减少１０件”确定售价变化时相应 每天的利润，由“每天的利润不低于３００元”确 定不等关系，即可列出不等式． 作答：　 　 ［归纳提升］　 将不等关系表示成不等式的 思路 （１）读懂题意，找准不等式所联系的量． （２）用适当的不等号连接． 　 　 【对点练习】? 用一段长为３０ ｍ的篱笆围 成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长１８ ｍ，要求菜 园的面积不小于１１０ ｍ２，靠墙的一边长为ｘ ｍ， 试用不等式表示其中的不等关系． 题型二 比较实数的大小 　 　 典例２ 已知ａ，ｂ为正实数，试比较ａ 槡ｂ ＋ ｂ 槡ａ 与槡ａ ＋槡ｂ的大小． 作答：　 　 ［归纳提升］　 比较大小的方法 １．作差法的依据：ａ － ｂ ＞ ０ａ ＞ ｂ；ａ － ｂ ＝ ０ ａ ＝ ｂ；ａ － ｂ ＜ ０ａ ＜ ｂ． 步骤：作差—变形—判断差的符号—得出 结论． 注意：只需要判断差的符号，至于差的值究 竟是多少无关紧要，通常将差化为完全平方式 的形式或多个因式的积的形式． ２．作商法的依据：ｂ ＞（＜）０时，ａｂ ＞ １ａ ＞ （＜）ｂ；ａｂ ＝ １ａ ＝ ｂ； ａ ｂ ＜ １ａ ＜（＞）ｂ． 步骤：作商—变形—判断商与１的大小— 得出结论． 注意：作商法的适用范围较小，且限制条件 较多，用的较少． ３．介值比较法：（１）介值比较法的理论根 据：若ａ ＞ ｂ，ｂ ＞ ｃ，则ａ ＞ ｃ，其中ｂ是ａ与ｃ的中 介值．（２）介值比较法的关键是通过不等式的                                                          恰 !!"# 　 ０３５ +,-&./+01"234 当放缩，找出一个比较合适的中介值． 【对点练习】? 当ｘ≤１时，比较３ｘ３ 与 ３ｘ２ － ｘ ＋ １的大小． 题型三 不等式的实际应用 　 　 典例３ 某矿山车队有４辆载重为１０ ｔ 的甲型卡车和７辆载重为６ ｔ的乙型卡车，且有 ９名驾驶员，此车队每天至少要运３６０ ｔ矿石至