(教案)第5章 5.3 5.3.5 随机事件的独立性-【提分教练】2022-2023学年新教材高中数学必修第二册(人教B版2019)

5.3.5　随机事件的独立性 学习任务目标 1．在具体情境中，了解两个事件相互独立的概念． 2．能利用相互独立事件同时发生的概率公式解决一些简单的实际问题． 3．综合运用互斥事件的概率加法公式及相互独立事件的乘法公式解决一些问题. 1．古典概型概率计算公式：P(A)＝. 2．3张奖券只有1张能中奖，3名同学有放回地抽取．事件A为“第一名同学没有抽到中奖奖券”，事件B为“第三名同学抽到中奖奖券”，事件A的发生是否会影响B发生的概率？ 提示：不会． 知识点一　相互独立事件的定义和性质 1．定义：设A，B为两个事件，一般地，当P(AB)＝P(A)P(B)时，就称事件A与事件B相互独立(简称独立)． 2．性质：如果A与B相互独立，那么A与，与B，与也相互独立． 3．在实际问题中，常常依据实际背景判断事件之间是否存在相互影响．若认为事件之间没有影响，则认为它们相互独立． [微训练] 设A与B是相互独立事件，下列命题中正确的有(　　) ①A与B对立；②A与相互独立；③A与B互斥；④与B相互独立；⑤P(AB)＝P(A)·P(B)． A．1个　　 B．2个 C．3个 D．5个 C　解析：由相互独立事件的性质及概率公式可知②④⑤正确． 知识点二　n个事件相互独立与独立事件的概率公式 1．n个事件相互独立 对于n个事件A1，A2，…，An，它们相互独立的充要条件是：其中任意有限个事件同时发生的概率都等于它们各自发生的概率之积. 2．独立事件的概率公式 (1)若事件A，B相互独立，则P(AB)＝P(A)P(B)． (2)若事件A1，A2，…，An相互独立，则P(A1A2…An)＝P(A1)×P(A2)×…×P(An)． [微训练] 在某道路A，B，C三处设有交通灯，这三盏灯在一分钟内开放绿灯的时间分别为25秒、35秒、45秒，且相互之间没有影响．某辆车在这条道路上匀速行驶，则三处都不停车的概率为　　　　. 　解析：由题意可知，每个交通灯开放绿灯的概率分别为，，.某辆车在这条道路上匀速行驶，则三处都不停车的概率为P＝××＝. 相互独立事件的判断 探究1：不可能事件与任何一个事件相互独立吗？ 提示：相互独立．不可能事件的发生对任何一个事件的发生没有影响． 探究2：必然事件与任何一个事件相互独立吗？ 提示：相互独立．必然事件的发生对任何一个事件的发生没有影响． 1．下列各对事件中，是相互独立事件的为(　　) A．运动员甲射击一次，“射中9环”与“射中8环” B．甲、乙两运动员各射击一次，“甲射中10环”与“乙射中9环” C．甲、乙两运动员各射击一次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没有射中目标” D．甲、乙两运动员各射击一次，“至少有1人射中目标”与“甲射中目标但乙未射中目标” B　解析：在A中，甲射击一次，“射中9环”与“射中8环”两个事件不可能同时发生，二者是互斥事件，不独立；在B中，甲、乙各射击一次，“甲射中10环”发生与否对“乙射中9环”的概率没有影响，二者是相互独立事件；在C中，甲、乙各射击一次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没有射中目标”不可能同时发生，二者是互斥事件，不独立；在D中，设“至少有1人射中目标”为事件A，“甲射中目标但乙未射中目标”为事件B，则AB＝B，因此当P(A)≠1时，P(AB)≠P(A)·P(B)，故A，B不独立． 2．(多选题)下面结论正确的是(　　) A．若P(A)＋P(B)＝1，则事件A与B互为对立事件 B．若P(AB)＝P(A)·P(B)，则事件A与B是相互独立事件 C．若事件A与B是互斥事件，则A与也是互斥事件 D．若事件A与B是相互独立事件，则A与也是相互独立事件 BD　解析：对于A选项，要使A，B为对立事件，除P(A)＋P(B)＝1，还需满足P(AB)＝0，即A，B不能同时发生，所以A选项错误． 对于B选项，根据相互独立事件的定义可知，B选项正确． 对于C选项，A包含于，所以A与不是互斥事件，所以C选项错误． 对于D选项，根据相互独立事件的性质可知，D选项正确． 3．判断下列各对事件是否是相互独立事件． (1)甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生．现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”． (2)容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”． (3)掷一颗骰子一次，“出现偶数点”与“出现3点或6点”． 解：(1)“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生，对“从乙组中选出1名女生”这一事件发生的概率没有影响，所以它们是相互独立事件． (2)“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率为，若这一事件发生了，则“从剩下的7个球中任意取出1个，取