(教案)第5章 5.3 5.3.2 事件之间的关系与运算-【提分教练】2022-2023学年新教材高中数学必修第二册(人教B版2019)

5.3.2　事件之间的关系与运算 学习任务目标 1．理解事件之间的关系与运算． 2．了解互斥事件的概率加法公式． 3．会用对立事件的特征求概率． 4．利用事件的关系将复杂事件转化为简单事件，提升转化与化归能力，培养逻辑推理、数学运算和数据分析的能力. 1．在25件同类产品中，有2件次品，从中任取3件产品，其中不可能事件为(　　) A．3件都是正品　 B．至少有1件次品 C．3件都是次品　 D．至少有1件正品 C　解析：25件产品中只有2件次品，所以不可能取出3件都是次品． 2．同时投掷两枚大小相同的骰子，用(x，y)表示结果，记A为“所得点数之和小于5”，则事件A包含的样本点的个数是(　　) A．3　　　　　 B．4 C．5　 D．6 D　解析：事件A包含的样本点有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，共6个． 知识点一　事件的包含与相等 1．包含关系 一般地，如果事件A发生时，事件B一定发生，则称“A包含于B”(或“B包含A”)，记作A⊆B (或B⊇A)．用图形表示为： 2．相等关系 如果事件A发生时，事件B一定发生；而且事件B发生时，事件A也一定发生，则称“A与B相等”，记作A＝B. [微训练] 同时抛掷两枚硬币，向上都是正面为事件M，向上至少有一枚是正面为事件N，则有(　　) A．M⊆N B．M⊇N C．M＝N D．M∩N＝∅ A　解析：M＝{(正，正)}，N＝{(正，正)，(正，反)，(反，正)}，故M⊆N. 知识点二　事件的运算 1．事件的和(并) (1)定义：给定事件A，B，由所有A中的样本点与B中的样本点组成的事件称为A与B的和(或并)，记作A＋B(或A∪B)． (2)图示：事件A与B的和可以用如图所示的阴影部分表示． (3)性质：按照定义可知，事件A＋B发生时，当且仅当事件A与事件B中至少有一个发生．显然A⊆(A＋B)且B⊆(A＋B)． (4)概率关系：P(A)≤P(A＋B)且P(B)≤P(A＋B)，而且，直观上可知P(A＋B)与P(A)＋P(B)的大小关系为P(A＋B)≤P(A)＋P(B)． 2．事件的积(交) (1)定义：给定事件A，B，由A与B中的公共样本点组成的事件称为A与B的积(或交)，记作AB(或A∩B)． (2)图示：事件A与B的积可以用如图所示的阴影部分表示． (3)性质：按照定义可知，事件AB发生时，当且仅当事件A与事件B都发生．显然AB⊆A且AB⊆B. (4)概率关系：P(AB)≤P(A)，P(AB)≤P(B)． [微训练] 抛掷一枚骰子，“向上的点数是1或2”为事件A，“向上的点数是2或3”为事件B，则(　　) A．A⊆B B．A＝B C．A∪B表示向上的点数是1或2或3 D．A∩B表示向上的点数是1或2或3 C　解析：设A＝{1,2}，B＝{2,3}，则A∩B＝{1}，A∪B＝{1,2,3}，所以A∪B表示向上的点数为1或2或3. 知识点三　事件的互斥与对立 1．互斥事件 (1)定义：给定事件A，B，若事件A与B不能同时发生，则称A与B互斥，记作AB＝∅(或A∩B＝∅)，这一关系可用下图表示． (2)互斥事件的概率加法公式及其推广 ①当A与B互斥(即AB＝∅)时，有P(A＋B)＝P(A)＋P(B)，这称为互斥事件的概率加法公式． ②一般地，如果A1，A2，…，An是两两互斥的事件，则P(A1＋A2＋…＋An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An). 2．对立事件 (1)定义：给定样本空间Ω与事件A，则由Ω中所有不属于A的样本点组成的事件称为A的对立事件，记作，用集合的观点来看，是A在Ω中的补集，如图所示．如果B＝，则称A与B相互对立. (2)对立事件概率：P(A)＋P()＝1. [微训练] 1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若两个事件是互斥事件，则这两个事件是对立事件． (×) (2)若两个事件是对立事件，则这两个事件也是互斥事件． (√) (3)事件A与事件B在任何一次试验中不同时发生，则事件A与事件B互斥． (√) 2．给出事件A与B的关系示意图，如图所示，则(　　) A．A⊆B B．A⊇B C．A与B互斥 D．A与B互为对立事件 C　解析：由互斥事件的定义知，A，B互斥． 知识点四　事件的混合运算 事件有三种运算：求两个事件的和，求两个事件的积，求一个事件的对立事件．因为事件运算的结果仍是事件，因此可以进行事件的混合运算，求积运算的优先级高于求和运算． [微训练] 甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为40%，甲不输的概率为90%，则甲、乙下成平局的概率为(　　) A．50% B．30% C．10% D．60% A　解析：甲不输的概率等于甲获胜和平局的概率相加，甲、乙下成平局的概率为p＝