(教案)第5章 5.1 5.1.4 用样本估计总体-【提分教练】2022-2023学年新教材高中数学必修第二册(人教B版2019)

5.1.4　用样本估计总体 学习任务目标 1．会用样本的数字特征估计总体的数字特征． 2．能用样本的分布来估计总体的分布． 3．通过利用样本的数字特征及频率分布来估计总体，培养学生的直观想象与逻辑推理能力. 1．用图、表整理数据有哪些好处？ 提示：用表格整理数据是通过改变数据的组织方式，为数据的解释提供新方式．用图、表示数据不仅有利于从数据中提取信息，还可以利用图形传递信息． 2．什么情况下需要用样本估计总体？ 提示：当所要考察的对象很多，或者对考察对象带有破坏性时，统计中常常通过用样本估计总体的方法来获得对总体的认识．例如，实际生活中经常用样本的平均数来估计总体的平均数． 知识点一　用样本的数字特征估计总体的数字特征 1．在容许一定误差存在的情况下，可以用样本的数字特征去估计总体的数字特征，这样就能节省人力和物力等． 2．样本是用分层抽样得到的，由每一层的数字特征估计总体的数字特征．以分两层抽样的情况为例. 条 件 假设第一层有m个数，分别为x1，x2，…，xm，平均数为，方差为s2；第二层有n个数，分别为y1，y2，…，yn，平均数为，方差为t2 结 论 如果记样本均值为，样本方差为b2， 则＝， b2＝ [微训练] 1．甲、乙、丙、丁四人参加奥运会射击项目选拔赛，四人的平均成绩和方差如下表所示： 甲 乙 丙 丁 平均环数 8.6 8.9 8.9 8.2 方差s2 3.5 3.5 2.1 5.6 从这四个人中选择一人参加奥运会射击项目比赛，最佳人选是(　　) A．甲　　 B．乙 C．丙 D．丁 C　解析：由表可知，乙、丙的成绩最好，平均环数都为8.9，但乙的方差大，说明乙的波动性大，所以丙为最佳人选． 2．在高一期中考试中，甲、乙两个班的数学成绩统计如下表： 班级 人数 平均分数 方差 甲 20 甲 2 乙 30 乙 3 其中甲＝乙，则两个班数学成绩的方差为(　　) A．3 B．2　 C．2.6　 D．2.5 C　解析：由题意可知两个班的数学成绩平均数为＝甲＝乙，则两个班数学成绩的方差为s2＝[2＋(甲－)2]＋[3＋(乙－)2]＝×2＋×3＝2.6. 知识点二　用样本的分布估计总体的分布 1．如果样本的容量恰当，抽样方法又合理的话，样本的分布与总体分布会差不多．特别地，每一组的频率与总体对应的频率相差不会太大． 2．同数字特征的估计一样，分布的估计一般也有误差．如果总体在每一个分组的频率记为π1，π2，…，πn，样本在每一组对应的频率记为p1，p2，…，pn，一般来说， (πi－pi)2＝[(π1－p1)2＋(π2－p2)2＋…＋(πn－pn)2]不等于零．同样，大数定律可以保证，当样本的容量越来越大时，上式很小的可能性将越来越大． [微训练] 1．已知样本10,8,10,8,6,13,11,10,12,7,9,8,12,9,11,12,9,10,11,10，那么频率为0.2的范围是(　　) A．5.5～7.5 B．7.5～9.5 C．9.5～11.5 D．11.5～13.5 D　解析：样本容量为20，频率为0.2的范围内有4个数，而在11.5～13.5之间的数有13,12,12,12，共4个，其他的都不正确． 2．为了解某中学300名男生的身高情况，随机抽取若干名男生进行身高测量，将所得数据整理后，画出频数分布直方图(如图)．估计该校男生的身高在169.5～174.5 cm之间的人数为(　　) A．12　 B．48 C．72　　 D．96 C　解析：根据图形，身高在169.5～174.5 cm之间的人数的百分比为：×100%＝24%，所以该校男生的身高在169.5～174.5 cm之间的人数为300×24%＝72.故选C. 用样本的数字特征估计总体的数字特征 某学员在一次射击测试中射靶10次，命中环数如下：7,8,7,9,5,4,9,10,7,4. 探究1：平均命中环数是多少？ 提示：＝＝7. 探究2：你能估计该学员射击一次命中的环数吗？ 提示：用样本估计总体，估计环数最可能为7. 【例1】从某项综合能力测试中抽取100人的成绩，统计如表，则这100人的成绩的标准差为(　　) 分数 5 4 3 2 1 人数 20 10 30 30 10 A．　 　 B．　 C．3 D． B　解析：平均数为 ＝3. 故s2＝×[20×(5－3)2＋10×(4－3)2＋30×(3－3)2＋30×(2－3)2＋10×(1－3)2]＝. 故s＝＝. 【例2】甲、乙两人在相同条件下各打靶10次，每次打靶的成绩情况如图所示： (1)填写表格： 平均数 方差 中位数 命中9环及以