(教案)第5章 5.1 5.1.2 数据的数字特征-【提分教练】2022-2023学年新教材高中数学必修第二册(人教B版2019)

5.1.2　数据的数字特征 学习任务目标 1．会求样本的最值、平均数、中位数、百分位数及众数． 2．会求样本的极差、方差与标准差． 3．通过应用相关知识解决实际统计问题，培养数学建模能力. 1．某班甲同学自高二以来历次数学考试得分为：79,80,85,91,94,99,102，则甲的平均分为________. 90　解析：＝90. 2．某项比赛规定：资格赛前12名进入决赛．已知24位参加资格赛的选手的成绩各不相同．如果选手知道了自己的成绩后，则他可根据其他23位同学成绩的________判断自己能否进入决赛．(填“平均数”“众数”“中位数”或“方差”) 中位数　解析：其他23位参赛同学按成绩从高到低排列，这23个数的中位数恰好是第12位选手的成绩． 若选手甲的成绩大于该选手的成绩，则进入决赛，否则不能进入决赛，因此可根据中位数判断选手甲是否能进入决赛． 知识点一　数据的最值、平均数、中位数、百分位数、众数 1．最值 一组数据的最值指的是其中的最大值与最小值，最值反映的是这组数最极端的情况．一般地，最大值用max表示，最小值用min表示． 2．平均数 (1)定义 如果给定的一组数是x1，x2，…，xn，则这组数的平均数为＝(x1＋x2＋…＋xn)，简记为＝xi. 一般地，利用平均数的计算公式可知，如果x1，x2，…，xn的平均数为，且a，b为常数，则ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的平均数为a＋b. (2)求和的性质 ① (xi＋yi)＝xi＋yi； ② (kxi)＝kxi； ③t＝nt. 3．中位数 一般地，有时也可以借助中位数来表示一组数的中心位置：如果一组数有奇数个数，且按照从小到大排列后为x1，x2，…，x2n＋1，则称xn＋1为这组数的中位数；如果一组数有偶数个数，且按照从小到大排列后为x1，x2，…，x2n，则称为这组数的中位数． 4．百分位数 (1)定义 直观来说，一组数的p%分位数指的是，将这组数按照从小到大的顺序排列后，处于p%位置的数．中位数就是一个50%分位数． (2)意义 一组数的p%(p∈(0,100))分位数指的是满足下列条件的一个数值：至少有p%的数据不大于该值，且至少有(100－p)%的数据不小于该值． (3)计算方法 设一组数按照从小到大排列后为x1，x2，…，xn，计算i＝np%的值，如果i不是整数，设i0为大于i的最小整数，取xi0为p%分位数；如果i是整数，取为p%分位数. 规定：0分位数是x1(即最小值)，100%分位数是xn(即最大值)． 5．众数 一组数据中，某个数据出现的次数称为这个数据的频数，出现次数最多的数据称为这组数据的众数． [微训练] 1．判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)描述一组数据极端情况的数字特征是最值． (√) (2)描述一组数据中心位置的数字特征可以是平均数、中位数和众数．(√) (3)百分位数可用于了解数据的分布特点． (√) 2．已知一组数据10,30,50,50,60,70,80.其中平均数、中位数和众数的大小关系是(　　) A．平均数>中位数>众数 B．平均数<中位数<众数 C．中位数<众数<平均数 D．众数＝中位数＝平均数 D　解析：由所给数据可得平均数为50，中位数为50，众数为50，因此众数＝中位数＝平均数． 3．数据12,14,15,17,19,23,27,30的70%分位数是(　　) A．14　　 B．17　　 C．19　 D．23 D　解析：因为8×70%＝5.6，所以70%分位数是第6个数据23. 知识点二　极差、方差与标准差 1．极差 一组数的极差指的是这组数的最大值减去最小值所得的差． 2．方差与标准差 (1)如果x1，x2，…，xn的平均数为，则方差可用求和符号表示为s2＝ (xi－)2.方差的算术平方根称为标准差． (2)如果x1，x2，…，xn的方差为s2，且a，b为常数，则ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的方差为a2s2. [微训练] 已知一组数据4.7,4.8,5.1,5.4,5.5，则该组数据的方差是________. 0.1　解析：这组数据的平均数为×(4.7＋4.8＋5.1＋5.4＋5.5)＝5.1，所以s2＝×[(4.7－5.1)2＋(4.8－5.1)2＋(5.1－5.1)2＋(5.4－5.1)2＋(5.5－5.1)2]＝0.1. 最值、平均数、众数 探究1：平均数、中位数、众数中，哪一个量与样本的每一个数据都有关，它的缺点是什么？ 提示：平均数与样本的每一个数据有关，它可以反映出更多的关于样本数据总体的信息，但它的缺点是受数据中极端值的影响较大． 探究2：在电视大奖赛中，计算评委打分的平均值时，为什么要去掉一个最高分和一个最低分？ 提示：为了避免平均值受数据中个别