(教案)第4章 4.2 4.2.3 第1课时 对数函数的性质与图象-【提分教练】2022-2023学年新教材高中数学必修第二册(人教B版2019)

4.2.3　对数函数的性质与图象 第1课时　对数函数的性质与图象 学习任务目标 1．通过具体实例，了解对数函数的概念． 2．能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象． 3．探索并了解对数函数的单调性与特殊点. 1．已知函数y＝2x，那么反过来，x是否为关于y的函数？ 提示：由于y＝2x是单调函数，所以对于任意y∈(0，＋∞)，都有唯一确定的x与之对应，故x也是关于y的函数，其函数关系式是x＝log2y，此处y∈(0，＋∞)． 2．指数函数的图象与性质的研究方法和过程是什么？ 提示：先根据解析式归纳概括其性质，再通过描点，借助性质画出函数图象． 知识点一　对数函数 一般地，函数y＝logax称为对数函数，其中a是常数，a>0且a≠1. [微训练] 判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y＝logx是对数函数． (　　) ×　提示：对数函数中自变量x在真数的位置上，且x>0，所以错误． (2)函数y＝2log3x是对数函数． (　　) ×　提示：在解析式y＝logax(a>0，且a≠1)中，logax的系数必须是1，所以错误． 知识点二　对数函数y＝logax(a>0且a≠1)的性质与图象 定义 y＝logax(a＞0且a≠1) 图象 a＞1 0＜a＜1 性 质 定义 y＝logax(a＞0且a≠1) 定义域 (0，＋∞) 值域 R 单调性 增函数 减函数 过定点 图象过点(1,0)，即loga1＝0 函数值 特点 x∈(0,1)时， y∈(－∞，0)； x∈[1，＋∞)时， y∈[0，＋∞) x∈(0,1)时， y∈(0，＋∞)； x∈[1，＋∞)时， y∈(－∞，0] 对称性 函数y＝logax与y＝logx的图象关于x轴对称 [微训练] 函数y＝x＋a与函数y＝logax的图象可能是(　　) 　　 A　　　　 B　　　　C　　　　D C　解析：因为a为对数函数y＝logax的底数，所以a>0且a≠1.同时a为直线y＝x＋a在y轴上的截距，所以排除A，D.当a>1时，y＝logax为增函数，y＝x＋a在y轴上的截距大于1，所以排除B.故选C. 对数函数的概念及定义域、值域 探究：对数函数中两个变量的取值范围是什么？ 提示：变量x的取值范围与指数函数中y的取值范围相同，即为(0，＋∞)．变量y的取值范围与指数函数中x的取值范围相同，即为R. 1．下列给出的函数：①y＝log5x＋1；②y＝logax2(a>0且a≠1)；③y＝log(－1)x；④y＝log3x；⑤y＝logx(x>0，且x≠1)；⑥y＝ x，其中是对数函数的为(　　) A．③④⑤　　　 B．②④⑥ C．①③⑤⑥ D．③⑥ D　解析：①中对数式后面加1，所以不是对数函数；②中真数不是自变量x，所以不是对数函数；③和⑥符合对数函数概念的三个特征，是对数函数；④中log3x前的系数不是1，所以不是对数函数；⑤中底数是自变量x，而非常数a，所以不是对数函数．故③⑥正确． 2．函数y＝log2(x2＋5x＋6)的定义域为________. (－∞，－3)∪(－2，＋∞)　解析：令x2＋5x＋6>0，解得x<－3或x>－2，所以函数的定义域为(－∞，－3)∪(－2，＋∞)． 3．若函数y＝log(2a－1)x＋(a2－5a＋4)是对数函数，则a＝________. 4　解析：由于y＝log(2a－1)x＋(a2－5a＋4)是对数函数，则有解得a＝4. 4．函数f(x)＝log2(8x＋1)的值域为　　　　. (0，＋∞)　解析：由8x＋1>1，得log2(8x＋1)>log21＝0，故函数f(x)的值域为(0，＋∞)． 利用对数函数的性质比较大小 探究1：比较log32与log3，log23与log3的大小可分别依赖于哪个量构造对数函数？ 提示：依赖于两个对数式的底数，当两个对数式的底数相同，真数变化时，可构造一个对数函数比较大小．比较log32与log3可构造函数y＝log3x；比较log23与log3的大小可先把log3转化为log29，构造函数y＝log2x. 探究2：依据对数函数的性质，如果两个对数的底数不同，寻找的中间量可能是多少？ 提示：无论对数函数的底数是大于1，还是大于0且小于1，函数的图象都过点(1,0)，所以中间量一般可考虑1，有时也考虑0. 【例1】比较下列各组数中两个值的大小： (1)log23.4，log28.5； (2)log0.31.8，log0.32.7； (3)loga5.1，loga5.9(a>0，且a≠1)． 解：(1)构造对数函数y＝log2x，因为它的底数2>1，所以它在(0，＋∞)上是