(教案)第4章 4.1 4.1.2 第2课时 指数函数性质-【提分教练】2022-2023学年新教材高中数学必修第二册(人教B版2019)

第2课时　指数函数性质 学习任务目标 1．探索并理解指数函数的单调性与特殊点． 2．能够应用指数函数的图象及性质解决问题. 利用指数函数的单调性比较大小 探究1：比较32与3，23与()3可分别依赖于哪个量构造指数函数？ 提示：依赖于两个数的幂底数，当两个数的幂底数相同，幂指数变化时，可构造一个指数函数比较大小．比较32与3可构造函数y＝3x，比较23与()3的大小可先把()3转化为2，构造函数y＝2x. 探究2：若能构造出一个指数函数，如何判断该函数的单调性？ 提示：可根据指数函数的幂底数与1的大小关系判断该函数的单调性． 探究3：依据指数函数的性质，如果两个指数幂底数不同，寻找的中间量可能是多少？ 提示：由于无论指数函数的底数是大于1，还是大于0且小于1，函数的图象都过点(0,1)，所以中间量一般可考虑1. 【例1】比较下列各组数的大小． (1)1.52.5和1.53.2；(2)0.6－1.2和0.6－1.5； (3)1.70.2和0.92.1；(4)a1.1与a0.3(a>0，且a≠1)． 解：(1)1.52.5,1.53.2可看作函数y＝1.5x的两个函数值．由于底数1.5>1，所以函数y＝1.5x在R上是增函数．因为2.5<3.2，所以1.52.5<1.53.2. (2)0.6－1.2,0.6－1.5可看作函数y＝0.6x的两个函数值．因为函数y＝0.6x在R上是减函数，且－1.2>－1.5，所以0.6－1.2<0.6－1.5. (3)由指数函数的性质得1.70.2>1.70＝1,0.92.1<0.90＝1，所以1.70.2>0.92.1. (4)当a>1时，y＝ax在R上是增函数，此时a1.1>a0.3；当0<a<1时，y＝ax在R上是减函数，此时a1.1<a0.3. 比较下列各题中两个值的大小： (1)1.7－2.5,1.7－3； (2)0.8－0.1,0.8－0.2； (3)0.8，1.8. 解：(1)因为1.7＞1，所以y＝1.7x在R上是增函数．因为－2.5＞－3，所以1.7－2.5＞1.7－3. (2)因为y＝0.8x在R上是减函数，－0.1＞－0.2，所以0.8－0.1＜0.8－0.2. (3)因为0.8＝1.6，y＝x在R上是减函数，1.6＜1.8，所以0.8＞1.8. 利用指数函数的单调性解不等式 观察图象，探究下列问题： 　　 探究1：a和x为何值时，ax是一个大于1的数？a和x为何值时，是一个大于0且小于1的数？ 提示：当a＞1且x＞0，或0＜a＜1且x＜0时，ax＞1；当a＞1且x＜0，或0＜a＜1且x＞0时，0＜ax＜1. 探究2：在解不等式ax＞1时，能否转化为利用指数函数的图象和性质解答？ 提示：可令y＝ax，转化为指数函数在什么情况下y＞1；也可以利用1＝a0，利用指数函数的单调性解答． 探究3：在解不等式ax＞1时，应特别注意的是什么？ 提示：讨论a与1的大小关系，判断指数函数的单调性． 【例2】(1)不等式3x－1≤2的解集为________. {x|x≥0}　解析：因为2＝－1，所以原不等式可以转化为3x－1≤－1.因为y＝x在R上是减函数，所以3x－1≥－1，所以x≥0.故原不等式的解集是{x|x≥0}． (2)解关于x的不等式：a2x＋1≤ax－5(a＞0，且a≠1)． 解：当0＜a＜1时，因为a2x＋1≤ax－5，所以2x＋1≥x－5，解得x≥－6.当a＞1时，因为a2x＋1≤ax－5，所以2x＋1≤x－5，解得x≤－6.综上，当0＜a＜1时，不等式的解集为{x|x≥－6}；当a＞1时，不等式的解集为{x|x≤－6}． 求满足下列条件的x的取值范围： (1)3x－1>9x；(2)0.2x＜25； (3)a－5x>ax＋7(a>0，且a≠1)． 解：(1)因为 3x－1>9x，所以3x－1>32x，又y＝3x在定义域R上是增函数，所以x－1>2x，所以x＜－1，即x的取值范围是(－∞，－1)． (2)因为 0＜0.2＜1，所以指数函数y＝0.2x在R上是减函数．又25＝0.2－2，所以 0.2x＜0.2－2，所以x>－2，即x的取值范围是(－2，＋∞)． (3)当a>1时，因为a－5x>ax＋7，所以－5x>x＋7，解得x＜－；当0＜a＜1时，因为a－5x>ax＋7，所以－5x＜x＋7，解得x>－.综上所述，当a>1时，x的取值范围是；当0＜a＜1时，x的取值范围是. 指数型函数的单调性问题 探究：对于形如y＝af(x)(a>0，且a≠1)的函数，单调性如何求？ 提示：当a＞1时，函数y＝af(x)的单调性与函数y＝f(x)的单调性相同；当0<a＜1时，函数y＝af(x)的单调性与函数y＝f(x)的单调性相反． 【例3】求下列函数的单调区间： (1)y＝2x－