(教案)第4章 4.1 4.1.2 第1课时 指数函数的性质与图象-【提分教练】2022-2023学年新教材高中数学必修第二册(人教B版2019)

4.1.2　指数函数的性质与图象 第1课时　指数函数的性质与图象 学习任务目标 1．理解指数函数的概念与意义，掌握指数函数的定义域、值域的求法． 2．能画出具体指数函数的图象，并能根据指数函数的图象说明指数函数的性质. 1．填空：20＝1，(－2)0＝1. 2．比较大小：(1)33<43；(2)8＝；(3)5<5. 知识点一　指数函数的定义 一般地，函数y＝ax称为指数函数，其中a是常数，a＞0且a≠1. [微训练] 判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y＝－2x是指数函数． (　　) ×　提示：因为指数幂2x的系数为－1，所以函数y＝－2x不是指数函数． (2)函数y＝2x＋1是指数函数． (　　) ×　提示：因为指数不是x，所以函数y＝2x＋1不是指数函数． (3)函数y＝(－2)x是指数函数． (　　) ×　提示：因为底数小于0，所以函数y＝(－2)x不是指数函数． 知识点二　指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的性质与图象 a>1 0<a<1 图象 性 质 定义域 R 值域 (0，＋∞) 过定点 (0,1) 函数值 的变化 当x>0时，y>1； 当x<0时，0<y<1 当x>0时，0<y<1； 当x<0时，y>1 单调性 在R上是增函数 在R上是减函数 奇偶性 非奇非偶函数 [微训练] 1．指数函数y＝ax与y＝bx的图象如图所示，则(　　) A．a<0，b<0 B．a<0，b>0 C．0<a<1，b>1 D．0<a<1,0<b<1 C　解析：函数y＝ax的图象是下降的，所以0<a<1；函数y＝bx的图象是上升的，所以b>1. 2．已知函数y＝x在[－2，－1]上的最小值是m，最大值是n，则m＋n的值为________. 12　解析：因为y＝x在[－2，－1]上为减函数，所以m＝－1＝3，n＝ －2＝9，所以m＋n＝12. 指数函数的概念 某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过1年剩余的这种物质是原来的84%.经过1年，剩余量为y＝1×84%＝0.841；经过2年，剩余量为y＝0.84×0.84＝0.842. 探究1：经过x年后剩余量y与x的关系是什么？(设该放射性物质最初时的量为1) 提示：经过x年，剩余量为y＝0.84x. 探究2：你能从上面的例子中得到的关系式里得到什么启示呢？ 提示：变量x与y构成的函数关系式是指数的形式，自变量在指数位置，底数是常数． 1．下列一定是指数函数的是(　　) A．y＝ax B．y＝xa(a>0且a≠1) C．y＝x D．y＝(a－1)ax C　解析：A中a的范围没有限制，故不一定是指数函数；B中y＝xa(a>0且a≠1)中变量是底数，故不是指数函数；C中y＝x显然是指数函数；D中只有a－1＝1，即a＝2时才为指数函数． 2．函数y＝(a－2)2ax是指数函数，则(　　) A．a＝1或a＝3　 B．a＝1 C．a＝3 D．a>0且a≠1 C　解析：由指数函数定义知所以解得a＝3. 3．若函数f(x)是指数函数，且f(2)＝9，则f(x)＝________. 3x　解析：由题意设f(x)＝ax(a>0且a≠1)，则f(2)＝a2＝9，又因为a>0，所以a＝3，所以f(x)＝3x. 4．已知函数f(x)＝(2a－1)x是指数函数，则实数a的取值范围是________. ∪(1，＋∞)　解析：由题意可知解得a>且a≠1，所以实数a的取值范围是∪(1，＋∞)． 与指数函数有关的定义域和值域问题 探究：求指数型函数定义域时除了按照求一般函数定义域的方法外，还需注意什么问题？ 提示：求指数型函数定义域时还要注意底数大于零且不能为1. 【例1】求下列函数的定义域和值域： 解：(1)要使函数式有意义，则1－3x≥0，即3x≤1＝30，因为函数y＝3x在R上是增函数，所以x≤0，故函数y＝的定义域为(－∞，0]．因为x≤0，所以0<3x≤1，所以0≤1－3x<1.所以∈[0,1)，即函数y＝的值域为[0,1)． (2)要使函数式有意义，则x－2≠0，解得x≠2.所以函数y＝2的定义域为{x|x≠2}．因为≠0，所以2≠1，即函数y＝2的值域为{y|y>0，且y≠1}． (3)要使函数式有意义，则－|x|≥0，解得x＝0，所以函数y＝的定义域为{x|x＝0}．因为x＝0，所以y＝＝0＝1，即函数y＝的值域为{y|y＝1}． (4)定义域为R.因为x2－2x－3＝(x－1)2－4≥－4，所以x2－2x－3≤－4＝16.又x2－2x－3>0，所以函数y＝x2－2x－3的值域为(0,16]． 1．下列函数中，值域为(0，＋∞)的是(　　) A．y＝5 B．y＝1－x C．y＝　　 D