(教案)第4章 4.1 4.1.1 实数指数幂及其运算-【提分教练】2022-2023学年新教材高中数学必修第二册(人教B版2019)

4.1　指数与指数函数 4.1.1　实数指数幂及其运算 学习任务目标 1．理解n次方根及根式的概念． 2．正确运用根式的运算性质进行根式运算． 3．掌握根式与分数指数幂的互化． 4．掌握有理指数幂的运算性质. 1．平方根的概念是如何定义的？ 提示：如果x2＝a，那么x叫做a的平方根． 2．整数指数幂的定义：，其中n∈N*. 3．正整数指数幂的运算性质有哪些？ 提示：正整数指数幂的运算性质有： (1)am·an＝am＋n(m，n∈N*)． (2)am÷an＝am－n(a≠0，m>n，且m，n∈N*)． (3)(am)n＝amn(m，n∈N*)． (4)(ab)m＝ambm(m∈N*)． (5)m＝(b≠0，m∈N*)． 知识点一　n次方根 (1)定义：一般地，给定大于1的正整数n和实数a，如果存在实数x，使得xn＝a，则x称为a的n次方根． (2)表示 n为奇数 n为偶数 a∈R a>0 a＝0 a<0 x＝ x＝± x＝0 不存在 (3)实质：求a的n次方根是开方运算，与乘方运算互为逆运算． [微训练] 判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)16的4次方根为2. (×) (2)2是16的4次方根． (√) (3)的运算结果为±2. (×) (4)当n为大于1的奇数时，对任意a∈R都有意义． (√) (5)当n为大于1的偶数时，只有当a≥0时才有意义． (√) 知识点二　根式 (1)定义：当有意义的时候，称为根式，n称为根指数，a称为被开方数. (2)性质：①()n＝a.②当n为奇数时，＝a；当n为偶数时，＝|a|＝ [微训练] 求下列各式的值． (1)＝－2； (2)＝π－3； (3)＝ 知识点三　指数幂及其运算性质 1．分数指数幂 当a>0时，规定a＝， a＝()m＝. 需要注意的是，上式在不是既约分数(即m，n有大于1的公因数)时可能会有歧义．例如，(－8)＝是有意义的，而(－8)＝()2是没有意义．因此，以后无特别说明时，我们都认为分数指幂中的指数都是既约分数． 负分数指数幂的定义与负整数指数幂类似，即a>0，规定a＝(n，n∈N)． 2．无理指数幂 一般地，当a>0且t是无理数时，at都是一个确定的实数． 3．实数指数幂的运算法则(a>0，b>0，r，s∈R) (1)asat＝as＋t；(2)(as)t＝ast； (3)(ab)s＝asbs. [微训练] 1．若a＞0，则用根式形式表示a，用分数指数幂表示分别为(　　) C　解析：当a＞0时，a用根式形式表示为，用分数指数幂表示为a3b. 2．化简：＝________. 根式的概念及运算 由a的平方根、立方根类比扩展到n次实数方根，观察xn＝a(n>1，n∈N*)，即n次实数方根的概念，探究下列问题： 探究1：当n为奇数时，在“xn＝a(n>1，n∈N*)”中，x的实数值有几个？ 提示：因为一个正数的奇次方是正数，一个负数的奇次方是负数，且不同实数的n次方不同，所以当n为奇数时x的实数值只有一个． 探究2：当n为偶数时，在“xn＝a(n>1，n∈N*，a＞0)”中，x的实数值有几个？ 提示：两个． 1．27的立方根是________；16的4次方根是________. 3　±2　解析：27的立方根是3；16的4次方根是±2. 2．已知x6＝2 022，则x＝________. ±　解析：因为x6＝2 022，所以x＝±. 3．若有意义，则实数x的取值范围为________. [－3，＋∞)　解析：要使有意义，则需要x＋3≥0，即x≥－3. 根式与分数指数幂的互化 观察体会分数指数幂与根式的互化过程，体会代数式a＝，探究下列问题： 探究1：分数指数幂同根式有什么关系？ 提示：分数指数幂是根式的另一种表示形式；根式与分数指数幂之间可进行互化． 探究2：分数指数幂的意义为什么规定“a＞0”？ 提示：由分数指数幂a的定义可知：当a＜0时，a没意义；当a＝0时，a没意义． 探究3：任何根式都能化成分数指数幂的形式吗？ 提示：引入分数指数幂之后，任何有意义的根式都能化成分数指数幂的形式，即a＝. 【例1】化简的结果是(　　) A．　　　　　　　 B．x C．1 D．x2 C　解析：＝x0＝1. 【例2】将下列根式化成分数指数幂的形式： (1)(a＞0)； 解：(1)原式＝ (2)原式＝ 1．若(x－2)有意义，则实数x的取值范围是(　　) A．[2，＋∞)　　　 B．(－∞，2] C．(2，＋∞) D．(－∞，2) C　解析：由负分数指数幂的意义可知，(x－2)＝，所以x－2>0，即x>2，因此x的取值范围是(2，＋∞)． 2．根式(a＞0)的分数指数幂的形式为(　　) A　解析：. 无理指数幂的运算 【例3】计算下列各式