课时达标检测30 圆锥曲线中的最值(范围)、定值(定点)、探索性问题-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学选择性必修1（人教A版2019）

课时达标检测(三十)　圆锥曲线中的最值(范围)、 定值(定点)、探索性问题 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 基础达标 一、单项选择题 1.AB为过椭圆+=1(a>b>0)中心的弦,F(c,0)为椭圆的右焦点,则△AFB面积的最大值为 (D) A.b2 B.ab C.ac D.bc 解析　由椭圆的对称性知,A,B两点关于原点O对称,因此S△AFB=2S△OFB=c·|yB|,故当|yB|=b时,△AFB面积最大,最大面积为bc。 2.已知P为抛物线y2=4x上一点,Q为圆(x-6)2+y2=1上一点,则|PQ|的最小值为 (C) A.-1 B.2- C.2-1 D.21-4 解析　设点P的坐标为m2,m,圆(x-6)2+y2=1的圆心坐标为A(6,0),则|PA|2=m2-62+m2=(m2-16)2+20≥20,所以|PA|≥2,因为Q是圆(x-6)2+y2=1上任意一点,所以|PQ|的最小值为2-1。 3.一动圆的圆心在抛物线x2=16y上,且该动圆恒与直线y+4=0相切,则动圆必经过的定点为 (A) A.(0,4) B.(4,0) C.(2,0) D.(0,2) 解析　由抛物线x2=16y,得准线方程为y=-4,焦点坐标为(0,4),因为动圆的圆心在抛物线x2=16y上,且动圆恒与直线y=-4相切,由抛物线的定义知|MF|=|MK|,如图所示,即动圆必经过定点F(0,4)。 4.直线l与抛物线C:y2=2x交于A,B两点,O为坐标原点,若直线OA,OB的斜率k1,k2满足k1k2=,则l的横截距 (A) A.为定值-3 B.为定值3 C.为定值-1 D.不是定值 解析　设A(x1,y1),B(x2,y2),则·=。所以=,所以y1y2=6,设直线l:x=my+b,代入抛物线方程可化为y2-2my-2b=0,所以y1y2=-2b,所以-2b=6,所以b=-3,所以l的横截距为-3。 5.已知M(x0,y0)是双曲线C:-y2=1上的一点,F1,F2分别是C的左、右两个焦点,若·<0,则y0的取值范围是 (A) A.-, B.-, C.-, D.-, 解析　因为F1(-,0),F2(,0),-=1,所以·=(--x0,-y0)·(-x0,-y0)=+-3<0,即3-1<0,解得-<y0<。 6.抛物线y2=4x上不同两点A,B(异于原点O),若直线OA,OB斜率之和为1,则直线AB必经过定点 (B) A.(0,2) B.(0,4) C.(-4,0) D.(-2,0) 解析　设直线AB的方程为x=ty+b(b≠0),并代入抛物线方程,消去x得y2-4ty-4b=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1+y2=4t,y1y2=-4b,所以kOA+kOB=+== ====1,所以b=-4t,所以直线AB的方程为x=ty-4t=t(y-4),过定点(0,4)。 二、填空题 7.已知点P为直线l:x=-2上任意一点,过点P作抛物线y2=2px(p>0)的两条切线,切点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),则x1·x2= 4 。  解析　不妨设P(-2,0),过P的切线方程设为y=k(x+2),代入抛物线方程y2=2px(p>0),得k2x2+(4k2-2p)x+4k2=0,又k≠0,故x1x2=4。 8.若直线y=x+t与椭圆+y2=1相交于A,B两点,当|t|变化时,|AB|的最大值为  。  解析　联立两个方程化为5x2+8tx+4t2-4=0。设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-t,x1x2=(t2-1),所以|AB|===,而Δ=(8t)2-4×5×(4t2-4)>0,解得0≤t2<5。所以取t2=0得|AB|max=。 9.已知椭圆+=1(a>b>0)的离心率为,短轴长为2,F1,F2为椭圆的左、右焦点,点P为椭圆上任意一点,则+的最小值是  。  解析　由题意得=,b=1,又a2=b2+c2,解得a=2,c=,于是|PF1|+|PF2|=2a=4,所以+=+(|PF1|+|PF2|)=5++≥(5+2)=,当且仅当|PF2|=2|PF1|,即|PF2|=,|PF1|=时等号成立。 三、解答题 10.已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A(2,3),且点F(2,0)为其右焦点。 (1)求椭圆C的标准方程; (2)是否存在平行于OA的直线l,使得直线l与椭圆C有公共点,且直线OA与l的距离等于4?若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由。 解　(1)依题意,可设椭圆C的方程为+=1(a>b>0),且可知左焦点为F'(-2,0),从而有解得又a2=b2+c2,所以b2=12。故椭圆C的标准方程为+=1。 (2)假设存在符合题意的直线l,其方程为y=x+t(t≠0)。由消去y,得3x2