课时达标检测29 直线与抛物线的位置关系-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学选择性必修1（人教A版2019）

课时达标检测(二十九)　直线与抛物线的位置关系 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 基础达标 一、单项选择题 1.边长为1的等边三角形AOB,O为坐标原点,AB⊥x轴,以O为顶点且过A,B的抛物线方程是 (C) A.y2=x B.y2=-x C.y2=±x D.y2=±x 解析　设抛物线方程为y2=ax(a≠0)。又A±,(取点A在x轴上方),则有=±a,解得a=±,所以抛物线方程为y2=±x。 2.与直线2x-y+4=0平行的抛物线y=x2的切线方程为 (D) A.2x-y+3=0 B.2x-y-3=0 C.2x-y+1=0 D.2x-y-1=0 解析　设切线方程为2x-y+m=0,联立得x2-2x-m=0。由Δ=4+4m=0,得m=-1,所以切线方程为2x-y-1=0。 3.设A,B是抛物线x2=4y上两点,O为原点,若|OA|=|OB|,且△AOB的面积为16,则∠AOB等于 (D) A.30° B.45° C.60° D.90° 解析　由|OA|=|OB|,知抛物线上点A,B关于y轴对称,不妨设A-a,,Ba,,a>0,则S△AOB=×2a×=16,解得a=4,所以A(-4,4),B(4,4),所以|OA|2+|OB|2=|AB|2,所以△AOB为等腰直角三角形,∠AOB=90°。 4.已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,过F且倾斜角为60°的直线l交C于A,B两点,若|AB|=16,则p= (A) A.2 B.4 C.6 D.12 解析　抛物线C:x2=2py的焦点为F0,,直线l:y-=x,可得x=y-,代入抛物线方程,得y2-7py+p2=0,则y1+y2=7p,|AB|=y1+y2+p=7p+p=16,解得p=2。 5.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,O为坐标原点,过点(2,0)的直线与抛物线C交于A,B两点,且|AF|+|BF|=7,则△OAB的面积为 (B) A.4 B.6 C.6 D.8 解析　由题可知直线AB的斜率不为0,设其方程为x=my+2,A(x1,y1),B(x2,y2)。由可得y2-4my-8=0,则Δ=16m2+32>0,y1+y2=4m,y1y2=-8。由抛物线的定义可得|AF|+|BF|=x1+x2+2=m(y1+y2)+6=4m2+6=7,解得m=±,则|AB|=×=3,又点O到直线AB的距离d==,所以△OAB的面积为×|AB|×d=×3×=6。故选B。 6.设抛物线y2=2x与过焦点的直线交于A,B两点,则·的值是 (B) A. B.- C.3 D.-3 解析　由y2=2x得焦点坐标为,0,当直线AB的斜率存在时,设直线AB的方程为y=kx-(k≠0)。由消y得k2x2-(k2+2)x+=0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=。·=x1x2+y1y2=x1x2+k2x1-x2-=x1x2+k2x1x2-(x1+x2)+=+k2-·+=+(-1)=-。当直线AB的斜率不存在时,易求得A,1,B,-1,所以·=,1·,-1=-1=-。综上,·的值是-。 二、多项选择题 7.已知F是抛物线C:y2=16x的焦点,M是C上一点,FM的延长线交y轴于点N。若M为FN的中点,则 (AC) A.C的准线方程为x=-4 B.F点的坐标为(0,4) C.|FN|=12 D.△ONF的面积为8(O为坐标原点) 解析　 如图,不妨设点M位于第一象限,设抛物线的准线l与x轴交于点F',作MB⊥l于点B,NA⊥l于点A。由抛物线的解析式可得准线方程为x=-4,F点的坐标为(4,0), 则|AN|=4,|FF'|=8,在直角梯形ANFF'中,中位线|BM|==6,由抛物线的定义有|MF|=|MB|=6,结合题意,有|MN|=|MF|=6,故|FN|=|FM|+|NM|=6+6=12,|ON|==8,S△ONF=×8×4=16。故选AC。 8.已知抛物线y2=2px(p>0),过抛物线的焦点F作直线与抛物线交于两点A(x1,y1),B(x2,y2),且抛物线的准线与x轴的交点为M,则以下结论正确的是 (ABD) A.x1x2= B.·=-p2 C.∠AMB=90° D.+= 解析　设过点F的直线方程为x=ty+,由消x得y2-2pty-p2=0,则则x1+x2=2pt2+p,x1x2=。又·=x1x2+y1y2=-p2=-p2,故A,B正确。因为M点坐标为-,0,故=x1+,y1,=x2+,y2,·=x1x2+(x1+x2)++y1y2=t2p2。当t≠0时,·≠0,即∠AMB≠90°,故C错误。+======,故D正确。故选A,B,D。 三、填空题 9.直线y=x-1被抛物线y2=4x截得的线段的中点坐标是 (3,2) 。  解析　设线段的端点为(