课时达标检测28 抛物线的简单几何性质-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学选择性必修1（人教A版2019）

课时达标检测(二十八)　抛物线的简单几何性质 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 基础达标 一、单项选择题 1.以x轴为对称轴,顶点为坐标原点,焦点与原点之间的距离为2的抛物线方程是 (C) A.y2=8x B.y2=-8x C.y2=8x或y2=-8x D.x2=8y或x2=-8y 解析　依题意设抛物线方程为y2=±2px(p>0)。因为焦点与原点之间的距离为2,所以=2,所以2p=8,所以抛物线方程为y2=8x或y2=-8x。故选C。 2.若抛物线y2=2mx的焦点与圆x2+y2-4x=0的圆心重合,则m的值为 (D) A.-2 B.2 C.-4 D.4 解析　由抛物线方程y2=2mx可知其焦点为,0,将圆的方程变形为(x-2)2+y2=4可知其圆心为(2,0),根据题意可得=2,所以m=4。故选D。 3.过抛物线y2=2px(p>0)的焦点作直线交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,如果x1+x2=6,且|AB|=8,那么抛物线方程为 (B) A.y2=2x B.y2=4x C.y2=8x D.y2=6x 解析　因为直线AB过焦点F,0,所以|AB|=x1+x2+p=6+p=8,所以p=2,所以抛物线方程为y2=4x。 4.若直线y=2x+与抛物线x2=2py(p>0)相交于A,B两点,则|AB|等于 (B) A.5p B.10p C.11p D.12p 解析　将直线方程代入抛物线方程,可得x2-4px-p2=0。设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=4p,所以y1+y2=9p。因为直线过抛物线的焦点,所以|AB|=y1+y2+p=10p。故选B。 5.已知抛物线y2=2px(p>0)的准线与曲线x2+y2-4x-5=0相切,则p的值为 (A) A.2 B.1 C. D. 解析　曲线的方程可化为(x-2)2+y2=9,其表示圆心为(2,0),半径为3的圆,又抛物线的准线方程为x=-,所以由抛物线的准线与圆相切得2+=3。解得p=2。 6.设O为坐标原点,F为抛物线y2=4x的焦点,A是抛物线上一点,若·=-4,则点A的坐标是 (B) A.(2,±2) B.(1,±2) C.(1,2) D.(2,2) 解析　由题意知F(1,0),设A,y0,则=,y0,=1-,-y0,由·=-4得y0=±2,所以点A的坐标为(1,±2)。 二、多项选择题 7.点M(1,1)到抛物线y=ax2的准线的距离为2,则a的值可以为 (AB) A. B.- C. D.- 解析　抛物线y=ax2的准线方程为y=-,因为点M(1,1)到抛物线y=ax2的准线的距离为2,所以1+=2,解得a=或a=-。 8.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,过F的直线l交抛物线于A(x1,y1),B(x2,y2)两点(点A在第一象限),则下列结论中正确的是 (AC) A.x1x2= B.+= C.若直线l的倾斜角为,则=3 D.若直线l的倾斜角为,则|AB|=4p 解析　抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,0,准线为x=-,当斜率不存在时,则过焦点的直线的方程为x=,则A,p,B,-p,此时x1x2=,+=+=,故B错误;当斜率存在时,设过焦点的直线方程为y=kx-,联立直线与抛物线方程得消去y得k2x2-(k2p+2p)x+=0,由根与系数的关系可得x1x2=,x1+x2=,故A正确;若直线l的倾斜角为,则k=,所以x1+x2==7p,所以|AB|=x1+x2+p=8p,故D错误;过A,B分别作准线的垂线,垂足分别为M,N,作BE⊥AM,垂足为E,设|AF|=m,|BF|=n,则由抛物线的定义得|AM|=|AF|=m,|BN|=|BF|=n,|AB|=m+n,|AE|=m-n,因为∠EAB=60°,于是=,解得m=3n,则==3,故C正确。综上,正确的有AC。 三、填空题 9.已知点A(-2,3)在抛物线C:y2=2px(p>0)的准线上,记抛物线C的焦点为F,则直线AF的斜率为 - 。  解析　因为点A(-2,3)在抛物线C的准线上,所以=2,所以p=4。所以抛物线的方程为y2=8x,则焦点F的坐标为(2,0)。又A(-2,3),根据斜率公式得kAF==-。 10.已知P是抛物线C:y2=2px(p>0)上的一点,F是抛物线C的焦点,O为坐标原点,若|PF|=2,∠PFO=,则抛物线C的方程为 y2=6x 。  解析　过P向x轴作垂线,设垂足为Q(图略),因为∠PFO=,|PF|=2,所以|PQ|=,|QF|=1,P,将P点的坐标代入y2=2px,得p=3(负值舍去),故抛物线C的方程为y2=6x。 11.F是抛物线y2=2px(p>0)的焦点,过点F且倾斜角为60°的直线交抛物线于A,B两点,线段AB的垂直平