课时达标检测27 抛物线及其标准方程-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学选择性必修1（人教A版2019）

课时达标检测(二十七)　抛物线及其标准方程 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 基础达标 一、单项选择题 1.在平面内,“点P到某定点的距离等于到某定直线的距离”是“点P的轨迹为抛物线”的 (B) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析　当定点在定直线上时,点P的轨迹是过该定点且与定直线垂直的直线;若点P的轨迹为抛物线,由抛物线的定义知点P到某定点的距离等于其到某定直线的距离。故选B。 2.过点A(3,0)且与y轴相切的圆的圆心轨迹为 (D) A.圆 B.椭圆 C.直线 D.抛物线 解析　由题意可知,动圆的圆心到点A的距离与到y轴的距离相等,满足抛物线的定义,故应选D。 3.抛物线y=ax2(a≠0)的准线方程是y=2,则a的值为 (B) A. B.- C.8 D.-8 解析　因为y=ax2(a≠0),化为标准方程为x2=y,其准线方程为y=2,所以2=,所以a=-。故选B。 4.顶点在坐标原点,对称轴为坐标轴,又过点(-2,3)的抛物线方程是 (D) A.y2=x B.x2=y C.y2=-x或x2=-y D.y2=-x或x2=y 解析　因为点(-2,3)在第二象限,所以设抛物线方程为y2=-2px(p>0)或x2=2p'y(p'>0)。又点(-2,3)在抛物线上,所以9=4p,p=或4=6p',p'=,从而所求抛物线方程为y2=-x或x2=y。故选D。 5.设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点M在C上,|MF|=5,若以MF为直径的圆过点(0,2),则抛物线C的方程为 (C) A.y2=4x或y2=8x B.y2=2x或y2=8x C.y2=4x或y2=16x D.y2=2x或y2=16x 解析　因为抛物线C的方程为y2=2px(p>0),所以焦点F,0。设M(x,y),由抛物线的定义,知|MF|=x+=5,得x=5-。因为圆心是MF的中点,所以根据中点坐标公式,可得圆心的横坐标为。由已知,得圆的半径也为,所以该圆与y轴相切于点(0,2),故圆心的纵坐标为2,则点M的纵坐标为4,即M5-,4,代入抛物线方程,得p2-10p+16=0,解得p=2或p=8。所以抛物线C的方程为y2=4x或y2=16x。故选C。 6.为响应国家“节能减排,开发清洁能源”的号召,小华制作了一个太阳灶,如图所示。集光板由抛物面(抛物线绕对称轴旋转得到)形的反光镜构成,已知镜口圆的直径为2 m,镜深0.25 m,为达到最佳吸收太阳光的效果,容器灶圈应距离集光板顶点 (B) A.0.5 m B.1 m C.1.5 m D.2 m 解析　若使吸收太阳光的效果最好,容器灶圈应在抛物面对应轴截面的抛物线的焦点处,如图,画出抛物面的轴截面,并建立坐标系,设抛物线方程为x2=2py(p>0),集光板端点A(1,0.25),代入抛物线方程可得2×0.25p=1,p=2,所以抛物线方程为x2=4y,故焦点坐标是F(0,1)。所以容器灶圈应距离集光板顶点1 m。 二、多项选择题 7.经过点P(4,-2)的抛物线的标准方程可以为 (AC) A.y2=x B.x2=8y C.x2=-8y D.y2=-8x 解析　若抛物线的焦点在x轴上,设抛物线的方程为y2=2px(p>0),又因为抛物线经过点P(4,-2),所以(-2)2=2p×4,解得p=,所以抛物线的方程为y2=x。若抛物线的焦点在y轴上,设抛物线的方程为x2=-2py(p>0),又因为抛物线经过点P(4,-2),所以42=-2p×(-2),解得p=4,所以抛物线的方程为x2=-8y。 8.对标准形式的抛物线给出下列条件,其中满足抛物线方程为y2=10x的是 (BD) A.焦点在y轴上 B.焦点在x轴上 C.抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6 D.由原点向过焦点的某直线作垂线,垂足坐标为(2,1) 解析　抛物线y2=10x的焦点在x轴上,B满足,A不满足;设M(1,y0)是y2=10x上一点,则|MF|=1+=1+=≠6,所以C不满足;由于抛物线y2=10x的焦点为,0,过该焦点的直线方程为y=kx-,若由原点向该直线作垂线,垂足为(2,1)时,则k=-2,此时满足条件的直线存在,所以D满足。故选BD。 三、填空题 9.抛物线方程为7x+4y2=0,则焦点坐标为 （-,0） 。  解析　抛物线方程化为y2=-x,所以抛物线开口向左,2p=,=,故焦点坐标为-,0。 10.以椭圆+y2=1的右焦点为焦点的抛物线的标准方程为 y2=4x 。  解析　由+y2=1,得右焦点为(,0),所以抛物线的标准方程为y2=4x。 11.设F为抛物线y2=4x的焦点,A,B,C为该抛物线上三点,若++=0,则||+||+||= 6 。  解析　设A(x1,y1