课时达标检测26 双曲线的简单几何性质-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学选择性必修1（人教A版2019）

课时达标检测(二十六)　双曲线的简单几何性质 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 基础达标 一、单项选择题 1.已知双曲线-=1(a>0)的右焦点为(3,0),则双曲线的离心率等于 (C) A. B. C. D. 解析　由题意知a2+5=9,解得a=2,e==。 2.已知双曲线的实轴和虚轴等长,且过点(5,3),则双曲线方程为 (D) A.-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1 解析　由题意知,所求双曲线是等轴双曲线,设其方程为x2-y2=λ(λ≠0),将点(5,3)代入方程,可得λ=52-32=16,所以双曲线方程为x2-y2=16,即-=1。 3.设双曲线-=1(a>0)的渐近线方程为3x±2y=0,则a的值为 (C) A.4 B.3 C.2 D.1 解析　由双曲线的几何性质可得,双曲线-=1(a>0)的渐近线方程为y=±x,又因为渐近线方程为3x±2y=0,即y=±x,故a=2。 4.若双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线经过点(3,-4),则此双曲线的离心率为 (D) A. B. C. D. 解析　由题意知=,则e2=1+=,所以e=。故选D。 5.如果椭圆+=1(a>b>0)的离心率为,那么双曲线-=1的离心率为 (A) A. B. C. D.2 解析　由已知椭圆的离心率为,得=,所以a2=4b2。所以在双曲线中,e2===。所以双曲线的离心率e=。故选A。 6.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的两个顶点分别为A,B,点P为双曲线上除A,B外任意一点,且点P与点A,B连线的斜率分别为k1,k2,若k1k2=3,则双曲线的渐近线方程为 (C) A.y=±x B.y=±x C.y=±x D.y=±2x 解析　设点P(x,y),由题意知k1·k2=·====3,所以其渐近线方程为y=±x。故选C。 二、多项选择题 7.已知双曲线C:-=1过点(3,),则下列结论正确的是 (AC) A.C的焦距为4 B.C的离心率为 C.C的渐近线方程为y=±x D.直线2x-y-1=0与C有两个公共点 解析　由双曲线C:-=1过点(3,),可得m=1,则双曲线C的标准方程为-y2=1。所以a=,b=1,c==2,因为双曲线C的焦距为2c=4,所以选项A正确;因为双曲线C的离心率为==,所以选项B不正确;因为双曲线C的渐近线方程为y=±x,所以选项C正确;将直线2x-y-1=0与双曲线-y2=1联立,消去y可得3x2-4x+4=0,Δ=(-4)2-4×3×4=-32<0,所以直线2x-y-1=0与双曲线C没有公共点,所以选项D不正确。 8.已知F1,F2分别是双曲线C:y2-x2=1的上、下焦点,点P是其一条渐近线上的点,且以线段F1F2为直径的圆经过点P,则 (ACD) A.双曲线C的渐近线方程为y=±x B.以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=1 C.点P的横坐标为±1 D.△PF1F2的面积为 解析　等轴双曲线C:y2-x2=1的渐近线方程为y=±x,故A正确。由双曲线的方程可知|F1F2|=2,所以以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=2,故B错误。因为点P(x0,y0)在圆x2+y2=2上,且设点P在直线y=x上,所以解得|x0|=1,则点P的横坐标为±1,故C正确。由上述分析可得△PF1F2的面积为×2×1=,故D正确。故选ACD。 三、填空题 9.设双曲线C经过点(2,2),且与-x2=1具有相同的渐近线,则C的方程为 -=1 ,渐近线方程为 y=±2x 。  解析　设双曲线C的方程为-x2=λ。将点(2,2)的坐标代入,得λ=-3,所以双曲线C的方程为-=1。令-x2=0,得y=±2x,即渐近线方程为y=±2x。 10.已知定点A,B,且|AB|=4,动点P满足|PA|-|PB|=3,则|PA|的最小值为  。  解析　如图所示,点P是以A,B为焦点的双曲线的右支上的点,当P在M处时,|PA|最小,最小值为a+c=+2=。 11.双曲线-=1(a>0,b>0)的渐近线为正方形OABC的边OA,OC所在的直线,点B为该双曲线的焦点,若正方形OABC的边长为2,则a= 2 。  解析　取B为双曲线右焦点,如图所示。因为四边形OABC为正方形且边长为2,所以c=|OB|=2,又∠AOB=,所以=tan=1,即a=b。又a2+b2=c2=8,所以a=2。 四、解答题 12.求适合下列条件的双曲线的标准方程: (1)焦点在y轴上,虚轴长为8,离心率为e=; (2)经过点C(-,),且与双曲线-=1有共同的渐近线。 解　(1)设所求双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0),则2b=8,e==,从而b=4,代入c2=a2+b2,得a2=9,故方程为-=1。 (2)由题意可设所求双曲线方程为-=λ(λ≠0)