课时达标检测25 双曲线及其标准方程-【赢在微点】轻松课堂2023-2024学年新教材高中数学选择性必修1（人教A版2019）

课时达标检测(二十五)　双曲线及其标准方程 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 基础达标 一、单项选择题 1.双曲线C的两焦点分别为(-6,0),(6,0),且经过点(-5,2),则双曲线的标准方程为 (B) A.-=1 B.-=1 C.-=1 D.-=1 解析　2a=|-|=4,所以a=2,又c=6,所以b2=c2-a2=36-20=16。所以双曲线的标准方程为-=1。 2.若双曲线方程为x2-2y2=1,则它的右焦点坐标为 (B) A.,0 B.,0 C.,0 D.(,0) 解析　将双曲线方程化为标准方程为x2-=1,所以a2=1,b2=,所以c2=a2+b2=,所以c=,故右焦点坐标为,0。 3.已知方程+=1表示双曲线,则m的取值范围是 (D) A.(-1,+∞) B.(2,+∞) C.(-∞,-1)∪(2,+∞) D.(-1,2) 解析　因为方程+=1表示双曲线,所以(m-2)(m+1)<0,解得-1<m<2,所以m的取值范围是(-1,2)。 4.动圆与圆x2+y2=1和x2+y2-8x+12=0都外切,则动圆圆心的轨迹是 (A) A.双曲线的一支 B.圆 C.椭圆 D.双曲线 解析　设动圆的圆心为M,半径为r,圆x2+y2=1与x2+y2-8x+12=0的圆心分别为O1(0,0)和O2(4,0),半径分别为1和2,由两圆外切的充要条件,得|MO1|=r+1,|MO2|=r+2。所以|MO2|-|MO1|=1,又|O1O2|=4,所以动点M的轨迹是双曲线的一支(靠近O1)。 5.已知在双曲线-=1左支上有一点M到右焦点F2的距离为18,N是线段MF2的中点,O为坐标原点,则|ON|等于 (A) A.4 B.2 C.1 D. 解析　如图,设双曲线的左焦点为F1,连接MF1。因为O,N分别是线段F1F2,MF2的中点,所以|ON|=|MF1|。又|MF2|-|MF1|=2a=10,所以|MF1|=|MF2|-10=18-10=8,所以|ON|=4。故选A。 6.已知椭圆+=1和双曲线-y2=1的公共焦点为F1,F2,P是两曲线的一个交点,那么cos∠F1PF2的值是 (A) A. B. C. D. 解析　不妨设点P在第一象限,F1,F2分别为左、右焦点,因为P在椭圆上,所以|PF1|+|PF2|=2。又P在双曲线上,所以|PF1|-|PF2|=2,两式联立,得|PF1|=+,|PF2|=-。又|F1F2|=4,所以根据余弦定理可以求得cos∠F1PF2=。故选A。 二、多项选择题 7.已知方程+=1表示的曲线为C。给出以下判断,其中正确的是 (BCD) A.当1<t<4时,曲线C表示椭圆 B.当t>4或t<1时,曲线C表示双曲线 C.若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆,则1<t< D.若曲线C表示焦点在y轴上的双曲线,则t>4 解析　A错误,当t=时,曲线C表示圆;B正确,若C为双曲线,则(4-t)(t-1)<0,所以t<1或t>4;C正确,若曲线C为焦点在x轴上的椭圆,则4-t>t-1>0,所以1<t<;D正确,若曲线C为焦点在y轴上的双曲线,则所以t>4。故选BCD。 8.已知点P在双曲线C:-=1上,F1,F2是双曲线C的左、右焦点,若△PF1F2的面积为20,则下列说法正确的有 (BC) A.点P到x轴的距离为 B.|PF1|+|PF2|= C.△PF1F2为钝角三角形 D.∠F1PF2= 解析　因为双曲线C:-=1,所以c==5。又因为=·2c|yP|=·10·|yP|=20,所以|yP|=4,所以选项A错误;将|yP|=4代入C:-=1得-=1,即|xP|=。由对称性,不妨取P的坐标为,4,可知|PF2|==。由双曲线定义可知|PF1|=|PF2|+2a=+8=,所以|PF1|+|PF2|=+=,所以选项B正确;由对称性,对于点P,在△PF1F2中,|PF1|=>2c=10>|PF2|=。且cos∠PF2F1==-<0,则∠PF2F1为钝角,所以△PF1F2为钝角三角形,选项C正确;由余弦定理得cos∠F1PF2==≠,∠F1PF2≠,所以选项D错误。 三、填空题 9.若双曲线-=1的焦距为10,则m= 9 。  解析　由题意知,a=4,b=,c=5,又由a2+b2=c2得,16+m=25,所以m=9。 10.设F1,F2分别是双曲线x2-=1的左、右焦点。若点P在双曲线上,且·=0,则|+|的值为 2 。  解析　由题意,知双曲线两个焦点的坐标分别为F1(-,0),F2(,0)。设点P(x,y),则=(--x,-y),=(-x,-y)。因为·=0,所以x2+y2-10=0,即x2+y2=10。所以|+|===2。 11.已知动点M与两定点A(-1,0),B(1,0)构成△MAB,且直线MA,MB的斜